¿Por qué las personas aparentemente inteligentes pierden su tiempo y el de los demás al demostrar que la suma de todos los números naturales positivos es igual a -1/12, cuando la lógica simple dicta que su prueba es incorrecta?

Answer 1

Piénsalo de esta manera. Tenemos una nueva noción, llamémosla hipersum , que concuerda con la suma convencional para secuencias finitas y series convergentes, y asigna valores reales a series divergentes de una manera que está lejos de ser arbitraria. Es un poco como extender logaritmos a números negativos. ¿Qué significa multiplicar [math] e [/ math] por sí mismo [math] i \ pi [/ math] veces y obtener [math] -1 [/ math] como respuesta? Físicamente, no mucho. Pero difícilmente habrá un análisis complejo sin la fórmula de Euler. Y el análisis complejo nos ayuda a contar el número de números primos hasta [matemáticas] n [/ matemáticas] en un sentido asintótico, que es lo más concreto posible.

La mayoría de los estudiantes universitarios encuentran que la física moderna es mucho más emocionante que las matemáticas modernas porque la primera a menudo desafía su intuición de maneras extrañas. Si algunos jóvenes se entusiasman con la posibilidad de un método detrás de la locura de [matemáticas] 1 + 2 + \ ldots = -1/12 [/ matemáticas], creo que es una gran cosa. El alma de un buen chiste es a menudo la inversión de estado, y ¿qué podría ser un mejor ejemplo de inversión de estado que la suma de infinitos enteros positivos que resultan ser una fracción negativa?

Answer 2

La suma de números naturales positivos diverge, no tiene límite superior. Sin embargo, puede encontrar formas de interpretar series divergentes.

Por ejemplo, agregar un número infinito de unos y negativos no tiene sentido, es divergente. Sin embargo, si asigna una orden, digamos 1, -1,1, -1,1, -1, … entonces puede ver el promedio de ejecución, que está convergiendo a 1/2. Este es un ejemplo de una suma de Cesaro, y tiene sus usos en la teoría ergódica para uno.

Otro tipo de suma infinita es la suma Ramanujan. Según esta definición, si ordena los números naturales y lo conecta, obtendrá -1/12. Esto no tiene sentido en el sentido tradicional, pero se muestra en los métodos de renormalización en la teoría cuántica de campos.

La teoría del campo cuántico no es un ejemplo de algo que tiene una base matemática rigurosa, sigue siendo un trabajo en progreso. Esta suma particular en mi opinión está gritando que algo debe ser visto más de cerca. Generalmente, aunque la teoría de campo cuántico es el sistema de física más preciso jamás estudiado.

Muchas veces algo parece una pérdida de tiempo porque tenemos falsas impresiones sobre lo que realmente se está trabajando. Números negativos, números imaginarios, geometría no euclidiana, todo esto en algún momento se consideró una pérdida de tiempo.

Answer 3

Estás asumiendo que la ‘lógica simple’ dicta si una prueba es correcta o no. Te equivocas.

Hay muchos resultados en matemáticas donde el uso de la “lógica simple” conduce al desastre:

1. El conjunto [math] \ {100000,200000,300000,400000, \ ldots \} [/ math] y [math] \ mathbb {Q} [/ math] tienen la misma cardinalidad.
2. El conjunto [math]] 0.001,0.0011 [[/ math] y [math] \ mathbb {C} [/ math] tienen la misma cardinalidad.
3. El conjunto [math] \ mathbb {Q} [/ math] tiene una cardinalidad menor que el conjunto [math]] 0.001,0.0011 [[/ math].

Todos los tres resultados anteriores son ciertos , a pesar de que arrojan ‘lógica simple’ por la ventana.

Aquí, déjame darte resultados más verdaderos, pero más o menos ‘ilógicos’ para considerar:

1. En el mundo de los números de 10 adic, el número representado por un número infinito de [math] 9 [/ math] dígitos ([math]… 9999999 [/ math]) es igual a [math] \ mathbf {-1} [ /matemáticas].
2. Es posible descomponer una bola en el espacio 3D en cinco piezas que se pueden volver a montar para formar dos bolas del mismo tamaño que el original. (Esta es la paradoja de Banach-Tarski).
3. La suma infinita de los recíprocos [matemáticas] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} { 5} + \ cdots [/ math] diverge, un resultado bien conocido. Pero en realidad, la suma infinita de los recíprocos primos [matemática] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {11} + \ cdots [/ math] también diverge , a pesar de que la suma excede el número [math] 3 [/ math] después de sumar [math] 361139 [/ math] términos.

En pocas palabras: probar cosas en matemáticas no se trata de aplicar ‘lógica simple’. Los matemáticos se preocupan por encontrar resultados verdaderos, no por doblar sus resultados para seguir la “lógica simple”.

Answer 4

Creo que de lo que estás hablando no es “lógica simple”, es matemática de “sentido común”, es pura lógica, hechos verdaderos, no solo modelos y experiencias.

Lo interesante es que si establece 1 + 2 + 3 … = -1/12 en ecuaciones físicas (teoría de campo cuántico) resulta que es la teoría más precisa hasta la fecha.

Así que no es una cosa matemática extraña, haces los cálculos y haces algunas predicciones, en realidad coincide con la realidad … Extraño …

Entonces, ¿es realmente una pérdida de tiempo?

“El sentido común es la colección de prejuicios adquiridos a los dieciocho años” – Albert Einstein

Answer 5

Esta pregunta tiene una cosa mal. Es muy importante distinguir entre “lógica” e “intuición”. La suma de los números naturales siendo -1/12 no desafía la lógica, desafía la intuición.

Este resultado particular (suma de números naturales) no solo es cierto dentro de las matemáticas, sino que también tiene aplicaciones en el mundo real. Un ejemplo de esto es cuando se calculan las fuerzas del “efecto Casmir” en la mecánica cuántica