¿De cuántas maneras se pueden sentar ocho personas, indicadas [matemáticas] A, B, \ ldots, H [/ matemáticas], alrededor de una mesa cuadrada con capacidad para dos personas en cada lado, de modo que dos de las ocho personas digan [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], ¿no se sientan uno al lado del otro?

Answer 1

8 * 6!

Para una mejor comprensión del concepto, veamos qué sucederá si se hace la pregunta cuando las personas deben sentarse en una fila o en una mesa circular.

En una fila

La primera persona en sentarse puede elegir su asiento de 8 maneras. (Ya sea a la izquierda o a la derecha en el lado que ha elegido)
¡Las otras 7 personas pueden sentarse en 7! formas.
Total de formas, sin restricciones = 8 * 7! = 8!

Si consideramos a AB juntos como una entidad, y son el primer grupo de personas en sentarse, pueden elegir sus asientos de 7 maneras.
Pueden acomodarlos en sus asientos de 2 maneras.
¡Las otras 6 personas pueden sentarse en 6! formas.
Formas totales para que AB se asiente juntos = 7 * 2 * 6! = 2 * 7!

Formas requeridas = 8! – 2 * 7! = 6 * 7!

En una mesa circular

La primera persona en sentarse puede elegir su asiento de 1 manera. (Todos los asientos son idénticos)
¡Las otras 7 personas pueden sentarse en 7! formas.
Total de formas, sin restricciones = 7!

Si consideramos a AB juntos como 1 entidad, y son el primer grupo de personas en sentarse, pueden elegir sus asientos de 1 manera.
Pueden acomodarlos en sus asientos de 2 maneras.
¡Las otras 6 personas pueden sentarse en 6! formas.
Total de formas para que AB se asienten juntas = 1 * 2 * 6! = 2 * 6!

Formas requeridas = 7! – 2 * 6! = 5 * 6!

En una mesa cuadrada:

La primera persona en sentarse puede elegir su asiento de 2 maneras. (Ya sea a la izquierda o a la derecha en el lado que ha elegido)
¡Las otras 7 personas pueden sentarse en 7! formas.
Total de formas, sin restricciones = 2 * 7!

Si consideramos a AB juntos como una entidad, y son el primer grupo de personas en sentarse, pueden elegir sus asientos de 3 maneras. (Ambos en el mismo lado, cubriendo la esquina izquierda de su lado, cubriendo la esquina derecha de su lado)
Pueden acomodarlos en sus asientos de 2 maneras.
¡Las otras 6 personas pueden sentarse en 6! formas.
Formas totales para que AB se asiente juntos = 3 * 2 * 6! = 6 * 6!

Formas requeridas = 2 * 7! – 6 * 6! = 8 * 6!

Espero que esto ayude.

Answer 2

Elija un lado para A. Una vez elegido, A puede sentarse en uno de los dos lugares. Supongo que si B quiere estar al lado de A, ella puede sentarse en el mismo lado o en un lado adyacente, junto a él. Entonces, para no hacer esto, B tiene una opción de 5 puntos. ¡Los 6 restantes se pueden organizar en 6! formas. Entonces tenemos [matemática] 2 \ veces5 \ veces6! = 7200 [/ matemática] formas.

Answer 3

¿De cuántas maneras pueden ocho personas, denotar d [matemática] A, B, C, D, E, F, G, H [/ matemática] sentados alrededor de una mesa cuadrada con capacidad para dos personas en cada lado de modo que dos de los ocho personas, digamos A y B, ¿no se sientan una al lado de la otra?

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La respuesta más bien depende de si consideramos que las rotaciones de 90 ° de cualquier disposición de asientos son equivalentes o no.

Suponiendo que las rotaciones de 90 ° de la disposición de los asientos son equivalentes, entonces el asiento A primero de 2 maneras (en el asiento izquierdo o derecho de cualquier lado de la mesa cuadrada) y luego B puede estar sentado en cualquier asiento excepto aquel adyacente a A de 6 maneras. ¡Las 6 personas restantes pueden sentarse en cualquiera de los 6 asientos restantes en [matemáticas] 6! [/ Matemáticas] de manera

[matemáticas] \ text {disposición de los asientos} \, = 2 \ cdot 6 \ cdot 6! = 8640 \ qquad \ blacksquare [/ math]

Si las rotaciones no son equivalentes, multiplique por 4 (para cada uno de los 4 lados en los que se pueda sentar A), para dar [matemáticas] 4 \ cdot 8640 = 34560 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que he tomado “uno al lado del otro” para significar específicamente en los dos asientos adyacentes en el mismo lado de la mesa. es decir, no se consideran “uno al lado del otro” cuando están a ambos lados de una esquina de la mesa. Aprecio que esto esté abierto a interpretación, pero por eso es importante que la pregunta sea lo más detallada posible.

Answer 4

Supongamos que A está sentado en el asiento izquierdo de cualquier lado. Entonces, dada esta condición, ¡los asientos para las 7 personas restantes se pueden organizar en 7! formas.

Ahora, A tiene dos opciones: asiento izquierdo de cualquier lado o asiento derecho de cualquier lado.

Entonces, el total de arreglos de asientos posibles = 2 * 7 !.

Si A y B se sentaron juntos en el mismo lado; ¡Los asientos para las 6 personas restantes se pueden organizar en 6! formas. Ahora, A y B pueden sentarse juntos en el mismo lado de 2 maneras (A: Izquierda B: Derecha; A: Derecha B: Izquierda). Entonces, la cantidad de formas en que A y B pueden sentarse juntas en el mismo lado = 2 * 6 !.

Si A y B se sentaron juntos en diferentes lados; ¡Los asientos para las 6 personas restantes se pueden organizar en 6! formas. Ahora, A y B pueden sentarse juntos en diferentes lados de 2 maneras (A: asiento izquierdo de cualquier lado B: asiento derecho del lado derecho en el sentido de las agujas del reloj hacia el lado donde está sentado A; A: asiento derecho de cualquier lado B: asiento izquierdo del lado inmediatamente en sentido antihorario hacia el lado donde está sentado A). Entonces, la cantidad de formas en que A y B pueden sentarse juntas en el mismo lado = 2 * 6 !.

Entonces, la cantidad de arreglos de asientos para los cuales A y B no pueden sentarse juntos = (2 * 7! – 2 * 6! – 2 * 6!) = (14 – 4) * 6! = 10 * 6! = 720.