Deje que [math] K [/ math] sea un campo. Considere [math] A = \ underset {\ mathbf {N} _0} {\ bigoplus} K [/ math] con una estructura aditiva natural. ¿Cómo encuentras que algunas o mejor describen todas las estructuras multiplicativas en [matemáticas] A [/ matemáticas] convirtiéndolas en un anillo conmutativo ([matemáticas] K [/ matemáticas] -álgebra) con identidad?

Answer 1

Estoy seguro de que desearía que A tuviera una estructura multiplicativa compatible con K. Eso convertiría a A en un álgebra asociativa, conmutativa y unital sobre K, y desea que tenga una dimensión infinitamente contable sobre K.

Hay muchos de ellos. Por ejemplo, podría tomar cualquier grupo abeliano infinitamente contable G, y luego K [ G ] es tal cosa. De hecho, G no tiene que ser un grupo como lo haría un monoide. Y, por supuesto, si tuvieras un yo ideal en uno de ellos, entonces el cociente K [ G ] / I sería otro, aunque no debería ser demasiado grande o el resultado no sería de dimensión infinita.

De hecho, todos ellos pueden describirse de esa manera. Tome el monoide abeliano M gratuito generado por infinitos símbolos [matemáticas] u_1, u_2, \ ldots. [/ Matemáticas] Hay un anillo homomorfismo [matemáticas] K [M] \ a A [/ matemáticas] donde [matemáticas] u_k [/ math] se envía a la secuencia que tiene 0 en todas partes excepto en la coordenada [math] i ^ {\ rm th} [/ math] donde hay un 1. Deje que sea ​​el núcleo de ese homomorfismo. Entonces K [ M ] / I es isomorfo a A.

Si no requiere que A sea ​​conmutativo, puede hacer lo mismo pero tachar la palabra Abelian.