Encuentre todos los enteros positivos a, b, c y el número primo p, de modo que la igualdad dada se mantenga: a ^ p + b ^ p = p ^ c?

Answer 1

Si [matemática] a = b [/ matemática], obtenemos [matemática] p = 2 [/ matemática] y [matemática] 2a ^ 2 = 2 ^ c [/ matemática] que fuerza [matemática] c-1 [/ matemática ] es par y obtenemos soluciones infinitas con [math] a = 2 ^ l [/ math]. Entonces, suponga que [math] p [/ math] es impar.
Denote [matemática] a [/ matemática] divide [matemática] b [/ matemática] por [matemática] a | b [/ matemática]
En primer lugar, del pequeño teorema de Fermat,
[matemáticas] a ^ p \ equiv a \ pmod p, b ^ p \ equiv b \ pmod p [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] p | a ^ p + b ^ p [/ matemáticas]
implica [matemáticas] p | a + b [/ matemáticas]
Tome [math] \ gcd (a, b) = 1 [/ math] WLOG.
Puede usar el teorema de Zsigmondy para mostrar que solo [math] p = 3, c = 2 [/ math] es posible.
Si no desea usar Zsigmondy, puede usar lo siguiente:
[matemáticas] \ gcd \ left (\ dfrac {a ^ nb ^ n} {ab}, ab \ right) | n [/ math]
Esto se cumple porque
[matemáticas] a ^ nb ^ n = (ab) (a ^ {n-1} + \ ldots + b ^ {n-1}) [/ matemáticas]
Si [math] \ gcd [/ math] es [math] g [/ math], entonces
[matemáticas] a ^ {n-1} + \ ldots + b ^ {n-1} \ equiv b ^ {n-1} + \ ldots + b ^ {n-1} \ equiv nb ^ {n-1} \ equiv 0 \ pmod g [/ math]
Ahora, todo lo que tiene que hacer es demostrar que a menos que [matemática] p = 3, c = 2 [/ matemática], [matemática] \ dfrac {a ^ p + b ^ p} {a + b} [/ matemática] sea mayor que [matemáticas] 1 [/ matemáticas]