De una lectura rápida, es esto, parafraseando una cita bien conocida en combinación con un título menos conocido: es más fácil para un hombre rico entrar al cielo que pasar a un camello simpléctico por el ojo de una aguja *.
No voy a pretender una gran profundidad de conocimiento aquí, por lo que otros pueden responder mucho mejor que yo (o corregirme si debo cometer un error), pero esto quiere decir que este es un resultado mucho más fuerte que el teorema de Liouville ( que es una declaración sobre la conservación del volumen del espacio de fases), identificando restricciones sobre lo que se puede lograr a través de transformaciones canónicas (es decir, transformaciones que preservan la estructura simpléctica, como las transformaciones de coordenadas canónicas o la acción del flujo de un sistema hamiltoniano en un bola en el espacio de fase).
En otras palabras, si tomo una pelota en el espacio de fase, tampoco puedo encontrar una transformación simpléctica de coordenadas que la apriete en alguna dirección, de modo que en algún plano [matemático] (q_i, p_i) [/ matemático] esta pelota pueda pasar a través de un agujero con un área menor que el área de la sección transversal de la pelota, ni hay ningún punto en el tiempo en el que hubiera pasado a través de dicho agujero durante la evolución de un flujo hamiltoniano correspondiente. (Aquí [math] q_i, p_i [/ math] representan (respectivamente) la coordenada generalizada y su correspondiente momento canónicamente conjugado en [math] i [/ math] -th y [math] (i + n) [/ math] -th dimensiones del espacio de fase, [math] \ mathbb {R} ^ {2n} [/ math].) O algunos puntos de la pelota permanecerían en el lado inicial del hoyo o alguna parte de la pelota se habría cruzado con la “pared” alrededor del agujero a su paso.
La afirmación más específica es que si tenemos un cilindro de radio [matemática] r [/ matemática] en el espacio de fase con la forma [matemática] q_i ^ 2 + p_i ^ 2 <r ^ 2 [/ matemática], no hay simpléctica incrustación de una bola de forma [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ n q_i ^ 2 + p_i ^ 2 <R ^ 2 [/ matemática] dentro de ese cilindro a menos que [matemática] R \ le r [/ matemática], si cada uno está dotado de una forma simpléctica.
- ¿Por qué el punto de vista intrínseco de la geometría se rompe con derivadas más altas?
- Un conjunto finito de cuadrados unitarios está en mosaico con triángulos rectángulos isósceles de hipotenusa 2, de modo que la hipotenusa de cada triángulo se encuentra a lo largo de una línea de cuadrícula, y los vértices de los triángulos se encuentran en las esquinas de los cuadrados. ¿Cómo se puede demostrar que el número de triángulos debe ser un múltiplo de 4?
- ¿Cuál es el análogo unidimensional de las tiras de Mobius y las botellas de Klein?
- Cómo encontrar la ecuación de las directrices y los focos de la elipse [matemáticas] 8x ^ 2 + 4xy + 5y ^ 2 – 24x -24y = 0 [/ matemáticas]
- ¿Cómo inventaron los matemáticos un círculo perfecto o una línea perfecta si no pueden existir en la naturaleza?
* Siempre que el área del ojo de la aguja sea más pequeña que el “ancho simpléctico” del camello. Ian Stewart aludió a la parábola del camello y el ojo de la aguja y el teorema de Gromov se conoce como el principio del camello simpléctico , según Wikipedia.