Trace todas las diagonales de un polígono regular de n lados. ¿Cuál es el número de puntos interiores distintos (no en el límite) donde se cruzan dos o más diagonales?

La Enciclopedia en línea de secuencias enteras® tiene la lista de estos números en A006561 – OEIS.

Comenzando con un cuadrado tienen 1, 5, 13, 35, 49, 126, 161, 330, 301, 715, 757, 1365, 1377, 2380, 1837, 3876, 3841, 5985, 5941, 8855, 7297, 12650, 12481, 17550, 17249, 23751, 16801, 31465, 30913, 40920, 40257, 52360, 46981, 66045, 64981, 82251, 80881, 101270. Tenga en cuenta que la secuencia no siempre aumenta. Por ejemplo, hay 330 intersecciones en el 11-gon pero solo 301 en el 12-gon.

Bjorn Poonen y Michael Rubinstein escribieron un artículo “El número de puntos de intersección hechos por las diagonales de un polígono regular” en 1997. El análisis de este problema es complicado. Aquí está la Figura 1 de su artículo

(Puede abrir la imagen en una ventana separada para ver más detalles).

No es una respuesta, pero algunos pensamientos:

  • Si consideramos cada diagonal [math] d [/ math] para dividir los vértices que no son puntos finales en un conjunto de [math] k_d [/ math] y un conjunto de [math] n-2-k_d [/ math], entonces cada diagonal [matemática] d [/ matemática] se cruza [matemática] k_d (n-2-k_d) [/ matemática] otras. (No se sabe si estas intersecciones son distintas).
  • Para todas [matemáticas] k ‘\ neq (n-2) / 2 [/ matemáticas], hay [matemáticas] n [/ matemáticas] diagonales [matemáticas] d [/ matemáticas] con [matemáticas] k_d = k’ [/ matemáticas]. Hay [matemática] n / 2 [/ matemática] diagonales [matemática] d [/ matemática] con [matemática] k_d = (n-2) / 2 [/ matemática].
  • Entonces, contando las multiplicidades, hay intersecciones [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n-2} i (n-2-i) [/ matemáticas]. Al reindexar, podemos dividir esto en dos casos: si [math] n [/ math] es impar, tenemos [math] 2 \ sum_ {i = 1} ^ {(n-3) / 2} i (n- 2-i) [/ matemáticas]; si [math] n [/ math] es par, tenemos [math] n (n-2) / 2 + 2 \ sum_ {i = 1} ^ {(n-4) / 2} i (n-2- i) [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que esta última expresión incluye multiplicidades (obviamente, el centro de un polígono par- [matemático] n [/ matemático] y posiblemente también otros puntos), que deberán deduplicarse para obtener el número total de puntos distintos .

Aquí hay otro hecho interesante (cuya prueba se deja como ejercicio para el lector): el número total de puntos distintos es equivalente, módulo [matemático] n [/ matemático], a 0 si [matemático] n [/ matemático] es impar, y a 1 si [matemáticas] n [/ matemáticas] es par.