Supongo que el póster original de esta pregunta se refiere a una esfera conductora aislada.
Ahora, antes de hablar sobre esferas aisladas, debemos saber primero cómo encontrar la capacitancia de un capacitor esférico que tiene 2 conductores esféricos concéntricos.
Verás por qué saber esto es útil …
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Como puede ver en la imagen, he tomado el radio interno como [math] a [/ math] y el radio externo como [math] b [/ math]. Y estas 2 esferas concéntricas están separadas por un medio dieléctrico con permitividad [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas]. Asumí que la esfera interna lleva carga [matemática] + Q [/ matemática] y la esfera externa lleva carga [matemática] -Q [/ matemática]. Ahora imaginemos tomar una imaginaria superficie esférica gaussiana que tiene un radio [matemática] r [/ matemática] tal que [matemática] (a <r <b) [/ matemática].
Apliquemos la ley de Gauss …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} Q & = \ epsilon \ oint \ overrightarrow {E} .d \ overrightarrow {S} & = \ epsilon E_r4 \ pi r ^ 2 \\\ implica \ overrightarrow {E} & = \ dfrac {Q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} a_r \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]
Ahora que encontramos una expresión para el campo eléctrico, es bastante sencillo descubrir cuál es la diferencia de potencial entre las 2 esferas …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} V & = – \ int_ {b} ^ {a} \ overrightarrow {E} .d \ overrightarrow {l} \\ & = – \ int_ {b} ^ {a } \ left [\ dfrac {Q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} a_r \ right] .dra_r \\ & = \ dfrac {Q} {4 \ pi \ epsilon} \ left [\ dfrac {1} { a} – \ dfrac {1} {b} \ right] \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]
Entonces la capacitancia del capacitor esférico es
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ boxed {C = \ dfrac {Q} {V} = \ dfrac {4 \ pi \ epsilon} {\ left [\ dfrac {1} {a} – \ dfrac {1} {b} \ right]}} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]
Ahora volviendo a la pregunta original, necesitamos encontrar la capacitancia de una esfera aislada . ¡Pero tenemos la expresión para 2 esferas concéntricas! Entonces, para obtener la capacitancia de una esfera aislada, haremos un pequeño truco.
¡Imagínese que la esfera externa (la que tiene radio [matemática] b [/ matemática]) es infinitamente grande !
Si imaginamos tal escenario, la esfera interna (la que tiene radio [matemática] a [/ matemática]) se comportará como una esfera aislada.
Entonces, para obtener la capacitancia de nuestra esfera aislada, todo lo que realmente tenemos que hacer es simplemente enchufar [math] b = \ infty [/ math] en la expresión encuadrada.
Eso significa [matemáticas] \ boxed {C = 4 \ pi \ epsilon a} [/ math]
