Tengo los cuatro lados de un cuadrilátero irregular y ninguno de sus ángulos. ¿Cómo puedo calcular su área?

Answer 1

Brahmagupta (c.598 – 665) fue un matemático indio que dio su fórmula para encontrar el área de un cuadrilátero, que no requiere la medición del ángulo. Solo las 4 longitudes son suficientes para encontrar el área. ¡Deberíamos darle el debido crédito!

Fórmula de Brahmagupta

La fórmula de Brahmagupta encuentra el área de un cuadrilátero cíclico . La fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico con lados a, b, c, d viene dada por

donde s = [a + b + c + d] / 2

y a, b, cyd son los cuatro lados.

Ejemplo 1: Deja que ABCD sea una cometa. DA = AB = 3, DC = CB = 5. Busquemos el área de la cometa.

s = (3 + 3 + 4 + 4) / 2 = 14/2 = 7

Área = [(7–3) (7–4) (7–4) (7–3)] ^ 0.5 = (4x3x4x3) ^ 0.5 = 12.

Como puede ver, DAC es una RAT como también ABC, con AC como hipotenusa (5). Por lo tanto, el área de DAC y ABC = 3 * 4/2 = 6 cada uno, y entonces el área de ABCD = área DAC + área ABC = 6 + 6 = 12, igual que lo que obtuvimos de la fórmula de Brahmagupta.

Ejemplo 2: Deje que PQRS sea una cometa. SP = PQ = 5, QR = RS = 12. Busquemos el área de la cometa.

s = (5 + 5 + 12 + 12) / 2 = 34/2 = 17

Área = [(17–5) (17–12) (17–12) (17–5)] ^ 0.5 = (12x5x5x12) ^ 0.5 = 60.

Como puede ver, SPR es una RAT como también PQR, con PR como hipotenusa (13). Por lo tanto, el área de SPR y PQR = 5 * 12/2 = 30 cada uno, y entonces el área de PQRS = área SPR + área PQR = 30 + 30 = 2 * 30 = 60, igual que lo que obtuvimos de la fórmula de Brahmagupta.

Answer 2

Si no tiene el ángulo, necesita la diagonal (D) .

Aquí hay enlaces de calculadora con las fórmulas:

• Área de un cuadrilátero con una diagonal
• Área de un cuadrilátero con ángulos.

Answer 3

Si tienes los 4 lados. Puedo suponer que los 4 vértices son conocidos. Simplemente coloque este cuadrilátero en una hoja gráfica con un lado apoyado en el eje x, un punto como origen. Puede obtener los otros 3 puntos de esta manera. Puedo ilustrar esto mejor con una figura.

Ahora tienes 4 puntos A, B, C, D. Encuentre el vector AD y el vector AB.

¿Cómo encuentras el vector?

AB = B – A. simplemente reste las coordenadas x del punto B con el punto A. Repita para y.

Del mismo modo, obtenga el vector AD.

Ahora encuentre el producto cruzado de estos 2 vectores. La mitad de la magnitud del producto cruzado le dará el área del triángulo ADB.

Haga lo mismo para el triángulo BDC. Encuentra vectores BC y CD

Answer 4

No puedes Como ya han dicho otros, el área depende de los ángulos del cuadrilátero en cuestión.

Tome éste por ejemplo. Aunque no está perfectamente dibujado, puede ver que ninguno de sus lados es congruente (es decir, es irregular). Cada uno tiene un valor: 1 unidad, 2 unidades, 3 unidades y 4 unidades. Sus ángulos, sin embargo, no están definidos. Imagine empujar hacia adentro el vértice entre el lado de longitud 2 y el lado de longitud 3. Los lados de la figura se moverán, pero su longitud no cambiará. Los ángulos lo harán.

Tenga en cuenta que los bimedianos y diagonales dependen de los ángulos. Si imagina uno en ese cuadrilátero mientras presiona el vértice, su tamaño cambiará. Esto también implica que, dadas las longitudes laterales y bimedianas o diagonales, puede calcular los ángulos del cuadrilátero, por lo tanto, puede calcular el área.

Por ejemplo:
Ahora se nos da una diagonal, que simplemente divide el cuadrilátero en dos triángulos. Podemos resolver fácilmente los ángulos usando la Ley de cosenos ahora.

Asimismo, dados ambos bimedianos:
(Lo siento, el diagrama es un poco desordenado). Los bimedianos acaban de crear cuatro triángulos para los cuales podemos usar nuevamente la Ley de los cosenos para determinar los cuatro ángulos. Si solo nos dieran un bimedian, también está bien; podemos determinar las medidas de los dos ángulos opuestos, y desde allí, podemos dibujar una diagonal y crear más triángulos para determinar los ángulos sobrantes.

Tenga en cuenta que recibir un bimedian nos permite encontrar la diagonal paralela, y viceversa, a medida que se crean triángulos geométricamente similares, y podemos usar proporciones para encontrar los valores.
(2 * longitud de bimedian = longitud de diagonal paralela a la bimedian)

Siempre que tenga medidas relacionadas de alguna manera con los ángulos, se trata principalmente de elegir su fórmula favorita de la página de wikipedia y agregar números.

Veamos otro caso ahora.

Dado un único ángulo fijo de los cuatro, dos lados ahora están bloqueados en su lugar. Tener este ángulo también nos permite dibujar un bimedian y / o una diagonal.
Se podría decir que debido a que dos lados están bloqueados en su lugar, los dos lados sobrantes tampoco pueden moverse, ya que podemos resolver el ángulo opuesto y definir otro triángulo lateral-ángulo-lado, bloqueándolos también en su lugar. Esto solo es cierto si suponemos que el cuadrilátero es convexo. Si se permite que sea convexo o cóncavo, los dos lados restantes simplemente pueden reflejarse a través de la diagonal que acabamos de encontrar, y ahora tenemos diferentes valores de ángulo (sin mencionar el área muy claramente diferente).

Nuevamente, perdone mis habilidades gráficas menos que óptimas:
(Esos bimedianos son congruentes, aunque no lo parezca). Las mismas longitudes de los lados exactos, y la longitud del bimedian y la diagonal son las mismas en ambas figuras. Sin embargo, la figura azul ahora es cóncava. El ángulo entre los lados 1 y 2 es repentinamente extremadamente grande, y los ángulos entre los lados 1/4 y 2/3 ahora son muy pequeños. Esto implica que el bimedian y la diagonal que no encontramos tendrán valores diferentes dependiendo de si la figura es convexa o cóncava.

Por lo tanto, debemos tener dos ángulos definidos, así como los lados, si queremos llegar a alguna parte. Los ángulos opuestos son buenos, ya que nos dicen si el cuadrilátero es convexo o cóncavo, y hay una fórmula de área que los usa (siempre que el cuadrilátero sea, de hecho, convexo; solo dibuje una imagen si no está seguro):

De lo contrario, si se nos dan ángulos adyacentes (por así decirlo) en el cuadrilátero junto con todas las medidas laterales, podemos encontrar los bimedianos y diagonales y calcular el área de esa manera.

———

tl; dr: No hay suficiente información para resolver.

Answer 5

La pregunta es bastante simple, y ni siquiera necesitará los valores de las bi-medianas.

Tienes los lados, así que elige dos lados adyacentes, di a y b, y una diagonal, di p, de modo que p, a y b formen un triángulo.

El semiperímetro de este triángulo es S = (a + b + p) / 2.

Usando la fórmula de la garza,

El área de este triángulo sería

A1 = 0.5 × √ [(S) (Sa) (Sb) (Sp)]

Ahora, la diagonal p divide el cuadrilátero en dos triángulos, una de cuyas áreas acabamos de obtener.

Calcule el área A2 del otro triángulo triángulo de manera similar.

El área total del cuadrilátero es A1 + A2

Y sí, ayuda saber el orden en que están los lados, ya que necesitaríamos esa información para decidir qué lados están en un triángulo y cuáles en el otro.

Answer 6

No puedes Imagínate esto. Tienes 4 pajitas de longitudes conocidas. Enhebras una cuerda a través de todos ellos y unes los extremos, formando un cuadrilátero irregular. La forma del cuadrilátero no es estable. Puede hacer que el interior sea grande, o puede aplastarlo y hacerlo muy pequeño. Ni la forma ni el área del cuadrilátero están determinados solo por sus lados.

El único polígono cuya forma está completamente determinada por sus lados es el triángulo. Es por eso que ves tantos triángulos en las estructuras de los edificios, generalmente como diagonales de los rectángulos que de otra forma serían flexibles y que a los humanos nos gustan tanto en nuestros edificios.

Answer 7

No puedes El área puede variar según los ángulos. Para ilustrar, pruebe este divertido experimento casero (o simplemente siga como un experimento mental):

Enhebre cuatro pajitas rectas en un trozo largo de hilo dental y ate los extremos del hilo para que las pajitas formen un cuadrilátero.

Notarás que puedes crear un cuadrado, un rombo o una línea recta (con las pajillas dobladas). Por lo tanto, el área puede ser el cuadrado de la longitud de la pajita, cero o cualquier punto intermedio.

Answer 8

El problema es que necesita información sobre los ángulos para encontrar las diagonales y bimedianas. Conocer solo los lados no lo ayudará a encontrarlos, aunque tiene razón en que puede encontrar el semiperímetro. Además, por convención, etiquetamos los vértices en orden (en sentido horario o contrario, no importa). Entonces, si tiene ABCD cuadrilátero, está claro para todos que AB es un lado y BD es una diagonal.

Answer 9

Los ángulos internos o externos son necesarios en este caso, similar al caso de “mediciones omitidas” en la topografía. Donde en las reglas seno y las reglas coseno se utilizan para encontrar las incógnitas.

Answer 10

No puedes, porque depende de los ángulos.

Toma un cuadrado. Tiene un area.

Imagina que las esquinas estaban articuladas.

Luego, podría aplastar el cuadrado en forma de diamante, que en el límite se volverá tan largo y delgado que el área puede desaparecer por completo.

Answer 11

Al usar la fórmula de Bretschneider, puede encontrar fácilmente el área del cuadrilátero irregular conociendo solo sus lados, es

Pero encontrará dolor de cabeza al encontrar la diagonal.
Por tu bien, lo he intentado.

Considere la figura anterior
Al usar el teorema de Pitágoras, tengo 3 ecuaciones

Y ahora usando la propiedad trigonometri tengo una ecuación más.

Ahora hay 4 ecuaciones y cuatro incógnitas, es decir, pqmn
Si puedes encontrar pqmn en términos de abcd usando estas ecuaciones, entonces puedes encontrar el área de este higo sin conocer los ángulos.
Buena suerte

Answer 12

La información que ha proporcionado no es suficiente. Como se menciona en el comentario, necesita más datos (puede ser la longitud de una de las diagonales). Considere un cuadrilátero con todos sus lados iguales a 5 unidades. Podría ser un rombo o un cuadrado, y ambos tienen diferentes áreas. Incluso si dices que es un rombo, puedes construir infinitos rombos con un área diferente.

Answer 13

Aquí hay dos cuadriláteros cada uno con el lado 3, 4, 5 y 6 en el mismo orden en sentido antihorario.

Debe quedar claro por inspección que no tienen la misma área. Sin embargo, los lados se pueden ordenar de 4! / 4 = 6 formas. Es posible que cada cuadrilátero convexo tenga una pareja cóncava como debería ser arriba. La única restricción para hacer un cuadrilátero es que la suma de 3 lados adyacentes debe ser mayor que el cuarto. Entonces, creo que uno necesita un poco más de información para deducir el área.

Answer 14

Me gusta la respuesta de Matt Westwood a esta pregunta. No tiene cálculos, fórmulas o incluso diagramas, pero hace el punto. Como su pregunta supone un cuadrilátero irregular, quizás no debería haber usado un cuadrado en su respuesta, pero puede ver fácilmente que la situación es la misma, incluso si todos los lados son de diferentes longitudes: la forma, articulada en los vértices, puede ser exprimido y aplastado para que su área cambie. Un triángulo es una historia diferente: articular los vértices no permite que la forma se deforme; Se mantiene rígido. Se refiere a Wikipedia: “Wikipedia da ecuaciones para encontrar el área en términos de los lados a, b, c, d, el semiperímetro s, las diagonales p, q y los bimedianos m, n … Pero solo conozco los lados a, b, c, d … Supongo que el semiperímetro S es (a + b + c + d) / 2 pero las diagonales y bimedianas? “Estas cosas que incluyen contienen información faltante que esencialmente hace que el cuadrilátero sea rígido. Una diagonal, por ejemplo, convierte la forma en dos triángulos, que no se pueden deformar, congelando el área.

Answer 15

No puede, porque un cuadrilátero no está determinado únicamente por la longitud de sus lados.

Por ejemplo, toma cualquier cuadrado y luego deformalo en un rombo. Tenga en cuenta que el área disminuye con la altura del rombo y, de hecho, puede tomar el área arbitrariamente cerca de 0.

Answer 16

No hay manera Necesita cinco datos para definir un cuadrilátero irregular único. Puede encontrar mínimos y máximos, pero con solo cuatro lados, ¿cómo puede saber si tiene forma cóncava, convexa o de corbatín?

Answer 17

No creo que puedas. Visión del cuadrilátero con pivotes en las 4 esquinas. Creo que puedes cambiar los ángulos moviendo los lados. Un ejemplo de esto sería mirar una sección de 4 lados dentro de unas pinzas perezosas. La sección puede abrirse bastante en una extensión y luego casi plana cuando está completamente extendida.

Answer 18

Como es un cuadrilátero, tiene dos pares de lados opuestos. Agregue los valores de dos lados opuestos y reduzca a la mitad la suma. Hazlo de nuevo por el otro par de lados opuestos. Luego, multiplica las sumas reducidas a la mitad.

Answer 19

Datos insuficientes para construir un cuadrilátero. Se deben proporcionar ángulos o diagonales para responder. OKAY.