¿Cómo [math] ax + by + cz + d = 0 [/ math] representa un plano? ¿No es la ecuación de una línea?

Answer 1

Ya hay muchas respuestas excelentes, pero tal vez lo más simple es decir: elija CUALQUIER número para [matemática] z [/ matemática] – diga [matemática] z = 0 [/ matemática]. Entonces [math] ax + by + (0 + d) = 0 [/ math] es la ecuación de una línea en el plano [math] xy [/ math], ¿verdad? Pero si hubiera elegido un número diferente para [matemática] z [/ matemática], digamos [matemática] z = 100 [/ matemática], obtendría [matemática] ax + por + (100c + d) = 0 [/ math], que también es una línea paralela al plano [math] xy [/ math] pero a una altura de 100. Y, por supuesto, puede hacer lo mismo para cualquier valor de [math] z [/ math] , por lo que el conjunto de soluciones generará una línea en cada plano paralelo al plano [math] xy [/ math].

Eso es sugerente, pero dos advertencias:

1. Lo anterior muestra que la solución no es, en general, una línea, pero en sí misma que no mostraba que era un plano, es fácil encontrar un conjunto de líneas en cada plano paralelo a [matemáticas] xy [/ matemáticas] -plano que no forman un plano por sí mismos. Por supuesto, estas soluciones también deben ser líneas en cada plano paralelas al plano [matemático] xz [/ matemático], etc., por lo que es posible que ya esté convencido de que realmente es un plano, pero para demostrarlo en detalle todavía Necesito un argumento más completo.
2. El argumento anterior supone que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] no son ambas [matemática] 0 [/ matemática] (¿ve por qué? El caso [matemática] 0x + 0y + cz = d [/ math] solo tendrá soluciones en el plano paralelo al plano xy en el que [math] z = d / c [/ math] (y no será una línea en ese plano, sino todo el plano) Por supuesto, si [math] c [/ math] TAMBIÉN es [math] 0 [/ math], o no habrá soluciones (cuando [math] d \ neq 0 [/ math]) o las soluciones serán cada [ matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas].

Ah, veo que Jered Wasburn-Moses ya escribió algo similar.

Answer 2

Su ecuación tiene tres variables: x, y y z , por lo que sus soluciones existen en 3 espacios. Las soluciones de una ecuación en tres variables generalmente forman una superficie en 3 espacios. Su ecuación particular es de primer grado, por lo que la superficie es un plano.

Si una ecuación solo tiene dos variables, x e y, entonces sus soluciones formarían una curva en el plano, 2 espacios. Cuando es una ecuación de primer grado, esa curva será una línea recta. Un ejemplo de ecuación de ese tipo es 3 x – 4 y + 1 = 0

Si una ecuación tiene solo una variable, x, entonces sus soluciones serán un conjunto de puntos en una línea, 1 espacio. Una ecuación lineal, como 3 x – 12 = 0, describe un solo punto, x = 4 en este ejemplo. Las ecuaciones de mayor grado pueden tener más de una solución, varios puntos.

Answer 3

Otros te han dado respuestas y conocimientos matemáticamente correctos; Aquí hay una manera diferente de ver las cosas.

Considere una sola línea en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] –por simplicidad, digamos que es el eje x . ¡Observe que para la mayoría de los valores de y y z , no hay un punto correspondiente en la línea! (De hecho, y y z deben ser cero para estar en el eje x ).

Pero en su ecuación, por otro lado, hay una solución (única) para x dados los valores para y y z . Por lo tanto, su ecuación no puede ser una para una línea.

Answer 4

Básicamente ax + by + cz = 0, representa una línea en xy, es decir, z = 0 t hace la ecuación como ax + by + d = 0.

Y cuando tomamos un valor infinitesimalmente pequeño al lado de 0. y lo asignamos a z, es decir, z = 0.000000000 … 1 que es un plano justo por encima de z = 0 plano y paralelo a él.

Entonces la ecuación ax + by + cz + d = 0, se convierte en ax + by + c (0.0000… .1) + d = 0

Sea c (0.0000… .1) + d = d1.
Entonces la ecuación ax + by + cz + d = 0 se convierte en ax + by + cz + d1 = 0. Lo que representa otro largo paralelo a esta línea pero en z = 0.0000 ……… 1 plano.

Cuando continuamos este proceso y trazamos la gráfica asignando cada valor de z, se convierte en el plano Ie, su locus se convierte en plano, que está representado por la ecuación ax + by + cz = 0 …….

Answer 5

Muchas respuestas geniales ya, pero solo quería señalar que el autor de la pregunta no es del todo incorrecto; en un sentido general, esta ecuación ES una línea, si considera que “línea” significa una “superficie” lineal en n dimensiones. En el plano 2D cartesiano xy, una línea es unidimensional (una dimensión menor que la del espacio ambiental). Por lo tanto, es lógico pensar que en el espacio cartesiano xyz 3D, una “línea” es en realidad una “cosa plana 2D” (nuevamente una dimensión menos) también conocida como plano.