Un n-polígono regular ABCD … tiene como centro J. Cada uno de los vértices y el centro están asociados con un número 1 a n + 1, de modo que la suma de los números en las diagonales principales (aquellos que se intersecan en el centro J) son igual. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? ¿Es esto posible para cualquier n?

Answer 1

Definiciones:

Esta pregunta solo es relevante incluso para [math] n [/ math]. Para [matemática] n [/ matemática] impar, no se puede dibujar una diagonal que pase por el centro [matemática] J [/ matemática] del polígono regular. Entonces, usaré [matemáticas] 2k [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] n [/ matemáticas] para el resto de la solución.

Responder:

[math] \ forall k \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {1 \} [/ math], para un polígono regular [math] 2k [/ math], hay [math] \ boxed {3 (k -1)! 2 ^ {k-1}} [/ math] formas de hacer esto bajo simetría rotacional. Sin simetría (es decir, todos los vértices del polígono están etiquetados inicialmente), hay [matemáticas] 2k [3 (k-1)! 2 ^ {k-1}] = \ boxed {3k! 2 ^ k} [/ matemáticas ] formas de hacerlo, ya que hay vértices potenciales [matemáticos] 2k [/ matemáticos] donde se puede colocar el primer número.

Razonamiento:

Primero, tenga en cuenta que para un [matemático] 2k [/ matemático] -polígono, la suma de todos los números disponibles será [matemática] S = \ sum \ limits_ {j = 1} ^ {2k + 1} {j} = (k + 1) (2k + 1) [/ matemáticas]. Uno de estos números [matemática] x [/ matemática] debe ser utilizado por el centro [matemática] J [/ matemática]. Una vez hecho esto, habrá [matemática] 2k [/ matemática] números restantes que deberán dividirse en [matemática] k [/ matemática] pares [matemática] (a_1, b_1), (a_2, b_2), … , (a_ {k-1}, b_ {k-1}), (a_k, b_k) [/ math], donde [math] (a_i, b_i) [/ math] representa los números en los extremos de la diagonal [math ] i [/ matemáticas]. Sin pérdida de generalidad, tendremos [matemática] a_i <b_i [/ ​​matemática] y [matemática] a_i <a_ {i + 1} [/ matemática].

Para que la suma de los números de cada diagonal sea la misma, es necesario que [math] a_1 + b_1 = a_2 + b_2 =… = a_k + b_k = \ frac {Sx} {k} [/ math]. Entonces debe ser que [math] k | (Sx) [/ math]. Esto se puede mostrar a través de la aritmética modular para que suceda solo en los casos en que [math] x \ in \ {1, k + 1,2k + 1 \} [/ math] (aquí es donde el factor de [math] 3 [/ matemáticas] viene en la respuesta). Por ejemplo, [matemáticas] S- (k + 1) [/ matemáticas] [matemáticas] = (k + 1) (2k + 1) – (k + 1) = 2k (k + 1) [/ matemáticas], que es obviamente divisible por [matemáticas] k [/ matemáticas]. Si [matemática] k | [S- (k + 1)] [/ matemática], obviamente [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 2k + 1 [/ matemática] son ​​los únicos otros valores dentro del rango de [ matemática] x [/ matemática] para la cual [matemática] k | (Sx) [/ matemática], ya que están compensados ​​por [matemática] k [/ matemática] a cada lado.

Por cierto, también podemos ver que debe ser que [math] b_i> b_ {i + 1} [/ math]. Por ejemplo, si usamos [matemática] 1 [/ matemática] para el centro [matemática] J [/ matemática] en un hexágono, los pares restantes serían [matemática] (2,7), (3,6), ( 4,5) [/ matemáticas]. Si utilizamos [matemáticas] 9 [/ matemáticas] para el centro [matemáticas] J [/ matemáticas] en un octágono [matemáticas] (2k + 1) [/ matemáticas], los pares restantes serían [matemáticas] (1,8 ), (2,7), (3,6), (4,5) [/ matemáticas]. Si utilizamos [matemática] 6 [/ matemática] para el centro [matemática] J [/ matemática] en un decágono [matemática] (k + 1) [/ matemática], los pares restantes serían [matemática] (1,11 ), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7) [/ matemáticas].

Ahora solo tenemos que contar la cantidad de formas de colocar los pares en las diagonales principales del polígono. Suponiendo que los vértices del polígono no estén etiquetados, podemos poner arbitrariamente el número más bajo en un vértice específico, lo que fija el vértice opuesto para que sea el número más grande. Ahora quedan [math] k-1 [/ math] pares restantes, y yendo en sentido horario desde el primer vértice, [math] (k-1)! [/ Math] formas de organizarlos. Pero tenga en cuenta que cada una de estas asignaciones de vértices tiene opciones [matemática] 2 [/ matemática], ya que [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] en el par pueden asignársele. Por lo tanto, la respuesta bajo simetría rotacional: [matemáticas] 3 (k-1)! 2 ^ {k-1} [/ matemáticas].

Answer 2

[matemáticas] n [/ matemáticas] es impar

Se puede ver fácilmente que para [matemática] n [/ matemática] impar no se cruza diagonalmente con [matemática] J [/ matemática], por lo que dependiendo de cómo desee tratar este caso puede etiquetar los vértices arbitrariamente en [matemática] (n + 1)! [/ math] diferentes formas o descuidar esta posibilidad.

[matemáticas] n [/ matemáticas] es par

Suponiendo que [math] n [/ math] es par, podemos etiquetar el centro [math] J [/ math] (valor [math] j [/ math]) de tres maneras diferentes. Esto se debe a que debe cumplir lo siguiente (la suma de los números restantes debe ser divisible por el número de diagonales):
[matemáticas] \ sum \ limits_ {i = 1, i \ ne j} ^ {n + 1} i \ equiv 0 ~ (\ text {mod} ~ \ frac {n} {2}) [/ math]
[matemáticas] \ Leftrightarrow \ frac {1} {2} (n + 1) (n + 2) -j \ equiv 0 ~ (\ text {mod} ~ \ frac {n} {2}) [/ math]
[matemáticas] \ Leftrightarrow 2 (1-j) \ equiv 0 ~ (\ text {mod} ~ n) [/ math]
que es satisfactoria solo para [math] j \ in \ {1, \ frac {n} {2} + 1, n + 1 \} [/ math] ya que [math] 1 \ le j \ le n + 1 [/ matemáticas].

Para cada uno de los tres valores posibles de [math] j [/ math] puede dividir los números restantes en pares combinando posteriormente el valor más bajo y el más alto que luego puede colocar en vértices opuestos en la misma diagonal. Esto garantiza la suma de cada una de las [matemáticas] \ frac {n} {2} [/ matemáticas] diagonales [matemáticas] S_j = \ frac {(n + 1) (n + 2) -2j} {n} + j [/ matemáticas] para ser el mismo.

Por ejemplo, para [matemáticas] n = 8 [/ matemáticas] obtienes los siguientes pares:
[matemáticas] j_1 = 1 \ rightarrow (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) [/ matemáticas]
[matemáticas] j_2 = \ frac {8} {2} + 1 = 5 \ flecha derecha (1,9), (2,8), (3,7), (4,6) [/ matemáticas]
[matemáticas] j_3 = 8 + 1 = 9 \ flecha derecha (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) [/ matemáticas]

Para un número fijo en el centro, ahora puede etiquetar [matemáticas] \ frac {n} {2} [/ matemáticas] vértices adyacentes con el primer número de cada par en [matemáticas] \ izquierda (\ frac {n} {2} \ right)! [/ math] diferentes formas y, por lo tanto, arreglando los números en los vértices [math] \ frac {n} {2} [/ math] aún restantes. Además, puede intercambiar independientemente los números en los dos vértices opuestos de una diagonal común, lo que resulta en un factor adicional de [matemáticas] 2 ^ {n / 2} [/ matemáticas].

¡Esto equivale a un total de [matemáticas] 3 \ cdot 2 ^ {n / 2} \ cdot \ left (\ frac {n} {2} \ right)! [/ Math] posibilidades.