Se colocan dos puntos al azar en una línea de longitud 1. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres segmentos creados puedan formar un triángulo?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, digamos que la longitud de la barra es [matemática] 1 [/ matemática], y el primer descanso se encuentra a la izquierda del segundo descanso. Si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​las ubicaciones de los descansos, entonces el espacio muestral se define por:

[matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y> x [/ matemáticas]

[matemáticas] y <1 [/ matemáticas]

Estas tres desigualdades forman un triángulo, con base y altura 1. El área total es 1/2.

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Las longitudes del intento de triángulo son [matemática] x [/ matemática], [matemática] yx [/ matemática] y [matemática] 1-y [/ matemática]. Al poner esto en la desigualdad del triángulo, obtenemos:

[matemáticas] (x) <(yx) + (1-y) [/ matemáticas]

[matemáticas] (yx) <(x) + (1-y) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1-y) <(x) + (yx) [/ matemáticas]

Estos se pueden simplificar, dando:

[matemáticas] x <\ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y <x + \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y> \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Estas tres ecuaciones también forman un triángulo, con altura y altura 1/2. El área es 1/8, que es 1/4 del espacio muestral.

Answer 2

Deje que los lados sean “x”, “y” y “1- (x + y)”
Ahora el espacio muestral es x> 0, y> 0 y 1- (x + y)> 0 porque estas son longitudes
Trace estos en ejes xy
Ahora para que estos representen un triángulo,
Suma de dos lados mayor que el tercer lado.
Por lo tanto, x + y> 1- (x + y), x + 1- (x + y)> y e y + 1- (x + y)> x
Trace estos también y obtenga la región común.
La probabilidad requerida será el área de esta región que satisfaga las condiciones de frontera divididas por el área de espacio muestral. (Probabilidad geométrica).
Se verá como un triángulo rectángulo dentro de otro.
La respuesta será 0.25
PD: Soy nuevo en quora, así que me llevará un tiempo acostumbrarme a dibujar gráficos. Pero este es un buen enfoque.

Answer 3

Hm, uno duro. Esta es mi idea, pero me alegraría si alguien pudiera verificar esto de forma cruzada.

Para un triángulo con lados a, byc, se cumple la siguiente regla:
[matemáticas] a + b> c [/ matemáticas]
Agregue c a ambos lados de la desigualdad, y obtendrá:
[matemáticas] \ frac {a + b + c} {2}> c [/ matemáticas]
Entonces, cada lado del triángulo debe tener menos de la mitad de su perímetro. En nuestro caso, cada lado <1/2.

Ahora, eche un vistazo a esta figura:
Cuando dice que elige P1, en realidad localiza P1 en un segmento infinitamente pequeño de longitud ‘da’. La probabilidad de que elija una tira de este tipo es [math] \ mathrm {d} a / 1 = \ mathrm {d} a [/ math]. Obviamente, [matemáticas] 0

Después de elegir P1, elige P2. Como ni b ni c pueden ser> 1/2, se marca un área [matemática] (1 – a – \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2} – a) [/ matemática] a a la derecha de P1, y un área igual a la izquierda del extremo más a la derecha del segmento azul, en el que su punto P2 puede no estar. Lo que te deja con [matemáticas] (1 – a) – 2 (\ frac {1} {2} – a) = un área [/ matemáticas] fuera de [matemáticas] (1 – a) [/ matemáticas] para elegir . La probabilidad combinada es [math] \ frac {a \ mathrm {d} a} {1 – a} [/ math]. Para todo el rango de valores de a, esto equivale a la siguiente integral
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {1/2} \ frac {a \ mathrm {d} a} {1 – a} = (-a – ln | 1 – a |) | _0 ^ {1/2} = 0.193 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la probabilidad de que cuando elija 2 puntos aleatorios en la línea, pueda hacer un triángulo usando los tres segmentos es 19.3%.

Editar: parece que cometí un gran error allí mismo, ya que asumí que P2 puede estar solo a la derecha de P1. Pero en realidad, puede estar en cualquier lado, de ahí la probabilidad:
[matemática] \ int_ {0} ^ {1/2} a \ matemática {d} a = 0.25 [/ matemática]. Gracias a Makarand Apte o por ayudarme a ver la luz.

Answer 4

Con cualquier triángulo, una regla es que la longitud de cualquiera de sus dos lados debe sumar más que la longitud del tercer lado.

Digamos que el primer punto colocado aleatoriamente en la línea divide la línea en dos piezas de longitud [matemática] x [/ matemática] y [matemática] (1-x) [/ matemática]. Supongamos por ahora que [matemática] x [/ matemática] es menor que [matemática] 0.5 [/ matemática]. El segundo punto aleatorio ahora se puede colocar en cualquiera de las dos piezas.

Si el segundo punto se coloca en la pieza más pequeña de longitud [matemática] x [/ matemática], entonces no se obedecerá la regla del triángulo. Si el segundo punto se coloca en la pieza más grande de longitud [matemáticas] (1-x) [/ matemáticas], entonces digamos que divide la pieza más grande en dos piezas más de longitud [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas ] (1-xy) [/ matemáticas].

Entonces ahora tenemos tres segmentos de longitudes [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] (1-xy) [/ matemática].

Para que se cumpla la regla del triángulo, necesitamos cumplir las siguientes tres condiciones:

1. [matemática] (x) + (y)> (1-xy) [/ matemática] es decir [matemática] y> (0.5 – x) [/ matemática]
2. [matemática] (x) + (1-xy)> (y) [/ matemática] es decir [matemática] y <0.5 [/ matemática]
3. [matemática] (y) + (1-xy)> (x) [/ matemática] es decir [matemática] x <0.5 [/ matemática]

La tercera condición ya está satisfecha por nuestra suposición anterior.

Entonces encontramos que para que la regla del triángulo se satisfaga, [math] y [/ math] necesita tomar un valor entre [math] (0.5-x) [/ math] a [math] 0.5 [/ math], que es una región cuya longitud es [matemática] x [/ matemática].

Entonces llegamos a la conclusión de que si se sabe que el primer punto se coloca en [matemáticas] x <0.5 [/ matemáticas], entonces la probabilidad de que el segundo punto se coloque de manera que permita que se forme un triángulo es [matemáticas ] P_2 (x) = x [/ matemáticas].

Dado que [math] x [/ math] puede tomar cualquier valor entre [math] 0 [/ math] a [math] 0.5 [/ math], encontramos la probabilidad que explica ambos puntos integrando [math] P_2 (x) [ / matemática] durante el intervalo [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 0.5 [/ matemática] y luego multiplique el resultado por dos para tener en cuenta los casos simétricos donde [matemática] x> 0.5 [/ matemática].

Probabilidad de que dos puntos colocados aleatoriamente en un segmento de línea permitan hacer un triángulo
[matemáticas] = 2 \ veces \ int \ límites_ {0} ^ {0.5} P_2 (x) \ dx [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ veces \ int \ límites_ {0} ^ {0.5} x \ dx [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ veces \ dfrac {0.5 ^ 2} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 0.25 [/ matemáticas]

Answer 5

Answer 6

Creo que ya hay algunas respuestas realmente buenas.

Hice el cálculo en Excel 101,230 veces (solo porque lo arrastré un poco más de lo que estaba apuntando). De estos, 25,439 (0.251299022) tenían los tres segmentos de modo que el segmento más largo no era más largo que los otros 2 sumados. Esto confirma la respuesta de tantos que es del 25%.

Answer 7

¿Cuál es la longitud del segmento de línea con puntos finales (5, -7) y (5,11)