He respondido esta pregunta aquí:
http://math.stackexchange.com/a/…
Realicé varios cursos de geometría en la universidad (física, geometría diferencial, partes de topología algebraica, etc.) y realmente no tenía ni idea de lo que alguien estaba hablando. La gente daría argumentos muy poco rigurosos para las cosas y terminaría sin tener idea de lo que realmente estaban diciendo. Claro, sonaba razonable cuando describían las cosas, pero cuando intentaba hacer las mismas cosas terminaba con cuatro respuestas diferentes y no tenía idea de cuál era la correcta.
Así que durante varios años renuncié a la geometría por completo, ocultando en secreto grandes dudas sobre cuánto de eso era cierto .
- ¿Por qué todos los cuadriláteros se teselan?
- ¿Es posible hacer una pieza de origami (sin cortar, cinta, etc.) a partir de una hoja de papel cuadrada que termine siendo más larga que la diagonal del papel?
- ¿Cuál es la distancia más corta entre la línea y = 10-2x y la elipse x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1?
- Se colocan dos puntos al azar en una línea de longitud 1. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres segmentos creados puedan formar un triángulo?
- ¿Qué es la capacitancia en una esfera?
Años más tarde, estaba en la escuela de posgrado con la idea de hacer algo puramente algebraico y totalmente desconectado de la geometría. Tenía algo de tiempo libre y decidí pasar por la biblioteca. De vez en cuando hacía esto, escogiendo un libro de matemáticas al azar para ver si podía tener alguna idea de qué se trataba. En esta ocasión, recogí la geometría algebraica de Daniel Perrin. (Para aquellos que no están familiarizados, el libro es diferente a muchos otros, ya que comienza con una prueba real del Nullstellensatz, en lugar de asumir que el lector ya está familiarizado con el álgebra conmutativa). Por primera vez en mi vida, veía argumentos geométricos en los que podía comprobar cada paso y asegurarme de que tenían sentido; no había ambigüedad sobre lo que se estaba haciendo, no me pidieron que “imaginara deformar tal y tal cosa, lo que obviamente tendrá un efecto no despreciable en esto y un efecto despreciable en eso …”
Tener este pequeño punto de apoyo me permite hacer una serie de cosas. Por un lado, pude ver las ideas geométricas que motivan muchas cosas que anteriormente consideraba trucos formales milagrosos. (Estoy bastante seguro de que, hasta ese momento, ¡ni siquiera había entendido que el Teorema fundamental del cálculo era algo más que empujar con un lápiz inteligente!) Por otro lado, podría volver y ver qué querían decir las personas cuando describió argumentos geométricos de manera informal.
Terminé transfiriéndome a un programa de posgrado diferente cuando estaba casi ABD y apenas comenzaba de nuevo. Seré mayor de lo que me gustaría cuando solicite postdocs, pero lo volvería a hacer; valió la pena entender la geometría. Solo desearía haber aprendido todo esto un poco antes y haber evitado perder tanto tiempo.
Hay un poco más en el sitio vinculado, ya que el OP allí solicitó algunas recomendaciones de libros.