¿Por qué todos los cuadriláteros se teselan?

Answer 1

(Nota: mosaico / mosaico son sinónimos de teselado / teselado).

Hay una buena explicación en Tessellations by Polygons en EscherMath. Aquí hay un par de inclinaciones de esa página. El primero es un cuadrilátero convexo, el segundo es un cuadrilátero cóncavo.

Tenga en cuenta que para obtener el mosaico, cada cuadrilátero se corresponde con una rotación de 180 ° de sí mismo. Si no permite esas rotaciones, estos cuadriláteros no enlosarán el plano. Una vez emparejado, el cuadrilátero junto con su rotación forma un hexágono irregular, y ese hexágono enlosará el plano mediante traslaciones en dos direcciones. El mosaico particular que obtienes al final tendrá media vuelta y traducciones. Ver también Grupos de fondos de pantalla.

Answer 2

Debido a que los ángulos interiores de todos los cuadriláteros suman 360 grados, y en la teselación cada punto de encuentro de cuatro es un punto de encuentro de cada uno de los vértices A, B, C y D. Esto hace que cada cuadrilátero se mezcle, y más curiosamente, en un patrón de tablero de ajedrez.

Answer 3

Hay un orbifold Conway Thurston, que es “2 2 2 2”, que corresponde a rotaciones en los cuatro lados de un cuadralateral.

Es decir, cualquier cuadralateral tiene una notación 2/2/2/2 / en las decoraciones krieger del diagrama CT. Esto corresponde a una rotación digonal alrededor de los cuatro centros de los bordes.

Se puede suponer que un borde va a cero, p. Ej. 2. 2/2/2 /, donde el grupo todavía se forma de la misma manera, pero una de las rotaciones digonales está en la cornner, y uno obtiene un mosaico de triángulos , donde el ciclo se repite dos veces.

El otro tipo de rotación es usar un borde tragado (%), que se forma quitando un borde (en lugar de ponerlo a cero, por lo que hay un grupo “2/2/2/2%” formado por cualquier hexágono, cuyos tres pares opuestos de bordes son paralelos.

Del mismo modo, hay un orbifold CT “2 2 2” que conduce a la cobertura de una esfera con tres trianges arbitrarios, y el tetraedro resultante 2/2/2 /.

En el espacio hiperbólico, el grupo CT permite “2 2 2 2 2”, etc., de modo que cualquier pentágono, hexágono, etc. cuyos ángulos se agreguen a un círculo enlosarán el espacio. Del mismo modo, se deduce de establecer un borde a cero, que hay un mosaico de polígonos cuyos ángulos se suman a un semicírculo, y con un solo%, un mosaico de polígonos 2p con una simetría digonal central, cuyos vértices se suman a la mitad o cirlce entero.