Si el eje radical de los círculos [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática] toca el círculo [matemática] C_3 [/ matemática], entonces ¿cómo puede demostrarse que [matemática] g = 3 / 4 [/ matemáticas] o [matemáticas] f = 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Hay tres ecuaciones:

[matemáticas] C_1: x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemáticas]

[matemática] C_2: 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3x + 8y + 2c = 0 [/ matemática]

[matemáticas] C_3: x ^ 2 + y ^ 2 + 2x – 2y + 1 = 0 [/ matemáticas]

La ecuación del eje radical se puede encontrar fácilmente por [matemática] C_1 – C_2 [/ matemática] mientras se asegura de que los coeficientes de [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] y ^ 2 [/ matemática] sean igual.

La ecuación del segundo círculo se puede escribir como

[matemática] C_2: x ^ 2 + y ^ 2 + \ frac {3} {2} x + 4y + c = 0 [/ matemática]

[matemáticas] C_1 – C_2: (2g – \ frac {3} {2}) x + (2f -4) y = 0 [/ matemáticas]

Dividiendo la ecuación por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]:

[matemática] \ Flecha derecha (g – \ frac {3} {4}) x + (f -2) y = 0 [/ matemática]

Ahora centrémonos en el tercer círculo que toca el eje radical. En otras palabras, la distancia entre el centro del tercer círculo y el eje es igual al radio del círculo.

Escribiendo la ecuación del tercer círculo en la forma:

[matemáticas] (x ^ 2 + 2x +1) + (y ^ 2 – 2y +1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha (x + 1) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, obtenemos el centro del círculo como [matemática] (- 1,1) [/ matemática] y el radio es [matemática] 1 [/ matemática].

Si [math] L: ax + by + c = 0 [/ math] es la ecuación de una línea y [math] P (x_1, y_1) [/ math] es un punto, entonces la distancia perpendicular entre la línea y el punto es dado por:
[matemáticas] S = \ dfrac {| ax_1 + by_1 + c |} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

Conocemos la ecuación de la línea [matemática] L: (g – \ frac {3} {4}) x + (f -2) y = 0 [/ matemática], el punto desde el cual se ha medido la distancia [matemática] P (-1,1) [/ matemáticas], y la distancia [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Por lo tanto,

[matemáticas] S = \ dfrac {| (g – \ frac {3} {4}) (- 1) + (f – 2) (1) |} {\ sqrt {(g – \ frac {3} {4 }) ^ 2 + (f – 2) ^ 2}} = 1 [/ matemáticas]

Esto implica que el denominador es el mismo que el numerador.

Para lograr la condición del numerador igual al denominador, [math] g – \ frac {3} {4} [/ math] tiene que ser igual a [math] 0 [/ math] o [math] f – 2 [/ math] has ser igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto, podemos decir que si el tercer círculo tiene que tocar el eje radical de los dos primeros círculos, entonces:

[matemática] g = \ dfrac {3} {4} [/ matemática] O [matemática] f = 2 [/ matemática]

Answer 2

¿Estás seguro de que a esta pregunta no le faltan detalles? A partir de mis cálculos aproximados, sospecho que si bien la condición se puede satisfacer cuando g = 3/4 o f = 2. sin embargo, la condición también podría satisfacerse cuando g no es 3/4 yf no es 2. Entonces, quizás haya algunos detalles faltantes o un error en la pregunta.

Solo para dar un poco más de detalle, puede ver que la condición se cumple cuando c = 4, g = 3/4 yf = -2. Y también cuando c = -183 / 64, g = -3 / 4 yf = 2.