Dado un círculo de circunferencia C> 0, y dado que debo elegir puntos ilimitados de la circunferencia, ¿cuál es el número esperado de veces para cada punto a elegir?

Answer 1

En mi opinión, depende de lo que quieras decir con elegir un número ilimitado de puntos del círculo.

Una forma de hacer esto es hacer que cada uno de un número infinito de selecciones independientemente de otras selecciones y distribuidas uniformemente en la circunferencia del círculo. En este caso, es fácil demostrar que, para cualquier selección, la probabilidad de elegir un punto en particular, y , es cero. Entonces, si dejamos que [math] X_i [/ ​​math] sea el indicador de que la i- ésima selección elige y ( es decir, la variable aleatoria es 1 si seleccionamos y y cero de lo contrario), entonces se deduce que [math] E (X_i) = P (X_i = y) = 0 [/ matemática]. Entonces deje que [math] N = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty X_i [/ ​​math]. Tenga en cuenta que [math] N [/ math] solo cuenta el número de veces que se selecciona y, de modo que esa es la variable aleatoria que está preguntando. Por linealidad de expectativa y porque la suma es contable y los sumandos no son negativos, [matemática] E (N) = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty E (X_i) = 0 [/ matemática]. Entonces, en este escenario, el número esperado de selecciones de y es cero. (Y eso es cierto para cada punto de la circunferencia ya que y fue elegido arbitrariamente).

Pero otra forma de elegir infinitos puntos es elegir todos los puntos del arco desde [math] \ theta \ in (\ theta_1, \ theta_2) [/ math] con [math] \ theta [/ math] midiendo el ángulo subtendido por un arco que comienza en un punto fijo y va en sentido horario o antihorario alrededor del círculo. (Asumiremos [matemáticas] 0 \ le \ theta_1 <\ theta_2 \ le 2 \ pi [/ matemáticas]).

En este caso, está eligiendo INCONTABLEMENTE muchos puntos y los puntos no se eligen de forma independiente. En este caso, si [matemática] N [/ matemática] es la cantidad de veces que se elige y, entonces [matemática] N = 0 [/ matemática] o [matemática] N = 1 [/ matemática] (ya que y está o no en el arco elegido al azar). En este caso, [matemáticas] E (N) = \ frac {\ theta_2- \ theta_1} {2 \ pi}> 0 [/ matemáticas].

El punto es que debes ser MUY preciso sobre lo que quieres decir cuando dices cosas como “elegir al azar” e “infinitos intentos”. La respuesta generalmente depende mucho de lo que quieres decir.

Answer 2

Si elige aleatoriamente infinitos puntos en la circunferencia de un círculo, y al azar me refiero de acuerdo con la distribución uniforme en la circunferencia , entonces la probabilidad de eventualmente elegir un punto premarcado en la circunferencia es cero. En otras palabras: si marca un punto en la circunferencia y comienza a elegir puntos aleatoriamente en la misma circunferencia, nunca elegirá el punto marcado, incluso si sigue eligiendo puntos para siempre. Se acercará arbitrariamente a él con probabilidad uno (es decir, eventualmente elegirá puntos de cualquier vecindario pequeño que contenga el punto marcado), pero nunca elegirá exactamente el punto marcado. Esto se debe a que hay innumerables puntos en la circunferencia, pero sus selecciones son infinitamente contables, por lo que solo puede cubrir una parte “insignificante” de la circunferencia, incluso si continúa eligiendo puntos para siempre.

Esto es cierto sin importar cuán grande o pequeña sea la circunferencia.

Answer 3

Esta pregunta se ha hecho varias veces aquí, en varias formas. La mejor respuesta hasta ahora, IMO, es la excelente respuesta de David Joyce a una versión ligeramente modificada de la pregunta.

Answer 4

Si toma muestras del círculo unitario infinitamente muchas veces, entonces el número de veces que cualquier punto particular x aparecerá como una muestra es casi seguro (esta es una forma matemáticamente precisa de decir que la probabilidad de que x aparezca como un número positivo de veces es cero).

Para ver esto, dejemos que X_k sea la variable aleatoria que es 1 de la muestra k es igual a x y de lo contrario es cero. Entonces, el número total de veces que aparece z es X_1 + X_2 +…, y el valor esperado de esta suma es E [X_1] + E [X_1] +… = 0 + 0 +… = 0, por (una versión infinita de) linealidad de expectativa. Una variable aleatoria no negativa con cero valor esperado es cero casi con seguridad, por lo que x aparece cero veces casi con seguridad.

Answer 5

Estrictamente su pregunta no tiene respuesta porque lo que propone es físicamente imposible.
Se puede obtener alguna respuesta al considerar un procedimiento que podría llevarse a cabo en un tiempo finito y con precisión finita y considerando cuidadosamente cómo cambia el recuento de puntos repetidos a medida que el tiempo y la precisión aumentan sin límite.
Los diferentes esquemas para aumentar el tiempo y la precisión darán diferentes respuestas.