Un tambor cilíndrico sellado de radio [matemática] r [/ matemática] está lleno al 9% con pintura. Si el tambor se inclina para descansar sobre su lado, ¿cuál es la fracción de su área de superficie curva (sin contar los lados planos) que estará debajo de la pintura?

Answer 1

Gracias por A2A. Bueno, una conclusión lógica es que si estaba lleno al 9% con una pintura, permanece lleno al 9% después de inclinarlo.

Entonces, si consideras una sección transversal (lo siento, soy un artista manqué como ese austriaco, ya sabes) se parece bastante a:

El 9% lleno de pintura significa que el área de un segmento circular debajo del triángulo es el 9% del área total del círculo, ya que todas las secciones transversales se ven iguales.

Análogamente con la superficie curva: la parte debajo de la pintura es igual a la longitud del segmento dividido por la circunferencia del círculo.

Si denotamos el ángulo en el centro del círculo [math] \ varphi [/ math] y asumimos que su radio es 1, entonces el área del triángulo es [math] \ frac {\ sin \ varphi} {2} [/ math ] y el área del segmento circular es [math] \ frac {\ varphi} {2} [/ math].

Su diferencia es [math] \ frac {\ varphi} {2} – \ frac {\ sin (\ varphi)} {2} = \ frac {9 \ pi} {100} [/ math].

El área superficial debajo de la pintura es proporcional a [matemáticas] \ frac {\ varphi} {2 \ pi}. [/matemáticas]

Bueno, [math] f (\ varphi) = \ varphi – \ sin (\ varphi) [/ math] está aumentando y tienes que calcularlo en los ángulos de respuesta.

Tenga en cuenta que [math] \ frac {1} {12}, \ frac {1} {6}, \ frac {1} {4} [/ math] corresponden al ángulo [math] \ varphi = \ frac {\ pi } {6}, \ frac {\ pi} {3}, \ frac {\ pi} {2} [/ math] respectivamente.

Nota [matemáticas] \ frac {18 \ pi} {100} \ aprox. 0.57 [/ matemáticas]

[math] \ frac {\ pi} {6} – \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ math] es demasiado pequeño.

[matemática] \ frac {\ pi} {3} – \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \ aprox 0.18 [/ math] es menor que [math] 0.57 [/ math].

[matemáticas] \ frac {\ pi} {2} – \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = \ frac {\ pi} {2} -1> \ frac {18 \ pi} {100} [/ math] (ver el comentario de Anders Kaseorg por qué)

Por lo tanto, [matemática] \ frac {\ pi} {3} <\ varphi <\ frac {\ pi} {2} [/ matemática] y la opción C debe ser la respuesta.

Answer 2

Voy a arreglar la respuesta de Gram Zeppi.

Primero, tenga en cuenta que en su figura, S = φ, donde S es la longitud del arco en cuestión. Por lo tanto, queremos saber [matemáticas] \ frac {S} {2 \ pi} [/ matemáticas] (la relación entre la longitud del arco y la circunferencia total).

Pero [matemáticas] S = .18 \ pi + \ sin {S} [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow \ frac {S} {2 \ pi} = 0.09 + \ frac {\ sin {S}} {2 \ pi}. [/ math]

Ahora, 0.09> 1/12, entonces la opción A está fuera, y sin ( S ) <1, entonces D está fuera. Solo necesitamos ver que, de hecho, sin ( S ) <1/2. Pero sin ( S ) = 1/2 cuando S = π / 6, y podemos comprobar que esto es realmente demasiado grande.

Answer 3

SI.
Aunque varía un poco si la altura es mayor, pero permanece entre 1/12 y 2/12 (8/100 y 16/100).