Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros y su área también es un entero. Un lado es 21 y el perímetro es 48. ¿Cómo encuentro el lado más corto?

Answer 1

¿Querías decir … ‘Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros ? ¿Y no integrales? Si es así, edite su pregunta.

Supongo que es entero.

Sin embargo, mi respuesta no sería profunda. En el mejor de los casos, es una respuesta laica. Yo también estoy esperando ansiosamente una respuesta profunda de los grandes matemáticos en la cuota.

Dado eso, a + b + c = 48, s = 24

Dado que c = 21, a + b = 27, de modo que b = 27-a. Definimos a> b, de modo que a> 13

Área del triángulo, usando la fórmula de Heron

A = √ [24 (24-21) (24-27 + a) (24-a)]

= 6√ [2 (a-3) (24-a)]

(A / 6) ^ 2 = 2 * (a-3) * (24-a)

Para que A sea entero, el RHS debe ser un número cuadrado con la condición de que un <24

Con la condición de que a sea> 13 pero <24, a puede ser cualquiera de 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 o 23.

De modo que b (= 27-a) será cualquiera de 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5 o 4 respectivamente.

c no puede ser <b, ya que c = 21. Por otro lado b <a (por nuestra definición)

Por lo tanto, b es el más corto de los 3 lados.

Para que el área del triángulo, es decir, A sea un número entero, primero tabulamos el posible conjunto de a, b, a-3, 24-a y 2 * (a-3) * (24-a), es decir, el cuadrado deseado RHS

14. 13. 11. 10. 220

15. 12. 12. 9. 216

16. 11. 13. 8. 208

17. 10. 14. 7. 196

18. 9. 15. 6. 180

19. 8. 16. 5. 160

20. 7. 17. 4. 136

21. 6. 18. 3. 108

22. 5. 19. 2. 76

23. 4. 20. 1. 40

Por verificación, encontramos que el RHS será cuadrado solo si es 196.

En consecuencia, b = 10 es la única longitud posible del lado más corto del triángulo del problema.

PD. Yo mismo no estoy satisfecho con esta solución. En caso de que a, b & c fueran longitudes mucho mayores, no podría resolverlo con mera verificación.

Answer 2

Deje a, b, c ser los lados del triángulo, y el lado 21 dado sea a.

Por lo tanto, b + c = 48–21 = 27

=> c = 27-b [Eq1]

Usando la fórmula del héroe,

Área ^ 2 = s (sa) (sb) (sc), donde a, b, c son lados y s es el medio perímetro.

Entonces, si el área es un número entero, s (sa) (sb) (sc) será un cuadrado perfecto.

Área ^ 2 = s (sa) (sb) (sc) = 24 * (24–21) * (24-b) * (24-c) = 72 * (24-b) * (24-c)

= 72 * (24-b) * (b-3) (usando Eq1)

El siguiente es el área para todos los valores de b satisfactorios: 3

Por lo tanto, los lados son 10, 17 y 21.

Answer 3

Perímetro del triángulo = 48

Es un lado = a = 21

Por lo tanto, suma de sus dos lados restantes

= 48–21 = 27

deje que uno de los dos lados restantes = b = x

Entonces, el tercer lado = C = (27-x)

S = semiperímetro del triángulo = 48/2 = 24

Por la fórmula de Heron,

Área del triángulo = √ [S (Sa) (Sb) (Sc)]

= √ [24 (24–21) (24-x) (24–27 + x)]

= √ [24 * 3 * (24-x) (x-3)]

= 6√ [2 (24-x) (x-3)]

Ahora, el área del triángulo es un número entero,

por lo tanto, 2 * (24-x) (x-3) es un número cuadrado perfecto

=> (24-x) (2x-3) es un número cuadrado perfecto

por lo tanto, 24-x = 2x-3 => 24 + 3 = 2x + x

=> 27 = 3x => x = 27/3 = 9

Por lo tanto, los dos lados restantes del triángulo son: x = 9 y (27-x) = (27–9) = 18.

Por lo tanto, el lado más corto = 9

Answer 4

Ea + b + c = 48

Deje a = 21,

b = 48 -ac = 48 -21-c = 27 -c

Área A = √ {s (sa) (sb) (sc)} &

s = (a + b + c) / 2 = 24

Área A = √ {24 (24–21) (24-b) (24-c)}

Área A = √ {24 (24–21) (24-b) (b-3).

Área A = √ {72 (24-b) (b-3)}

Área A = 6 √ {2 (24-b) (b-3)}

Para que A sea un número entero, 24 -b debe ser = 2 (b-3)

O b = 10.

La otra posibilidad es

2 (24 -b) = (b-3) y en este caso, obtenemos b 17.

Si b = 10,

Área A = 6 * 14 = 84 unidades de área.

a = 21, b = 10, c = 17 unidades de longitud.