El foco de la elipse [matemática] \ left (\ frac {x ^ 2} {a ^ 2} \ right) + \ left (\ frac {y ^ 2} {b ^ 2} \ right) = 1 [/ math ] está en [matemáticas] f = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} [/ matemáticas] y la longitud del recto latus es [matemáticas] 2 \ frac {b ^ 2} {a }[/matemáticas]. Esto le da a las coordenadas una extremidad del recto latus como [matemáticas] P = \ left (\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}, \ frac {b ^ 2} {a} \ right) [ /matemáticas]
Al diferenciar wrt x, y da una longitud no unitaria como normal [matemática] \ izquierda (\ frac {2x} {a ^ 2}, \ frac {2y} {b ^ 2} \ derecha) [/ matemática], aplique esto en el recto latus da
[matemáticas] N = \ left (2 \ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a ^ 2}, 2 \ frac {b ^ 2} {ab ^ 2} \ right) [/ math], y la línea normal es entonces
[matemáticas] P + \ lambda N [/ matemáticas]. Queremos que esto pase por el punto [math] (0, -b) [/ math]. Hacer la coordenada y [matemáticas] -b = \ frac {b ^ 2} {a} + \ lambda \ frac {2} {a} [/ matemáticas], [matemáticas] -ab = b ^ 2 + 2 \ lambda [/ math] entonces [math] \ lambda = – \ frac {ab + b ^ 2} {2} [/ math]. Para la x-coord [matemáticas] 0 = \ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}} – \ lambda 2 \ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a ^ 2} [/ math] multiplicar por un cuadrado y dividir por la raíz cuadrada da [math] \ lambda = -a ^ 2 [/ math]. Al establecer ambos en el mismo valor, encontramos [matemática] a ^ 2-ab-b ^ 2 = 0 [/ matemática]. Deje [math] \ mu = a / b [/ math] tenemos un [math] \ mu ^ 2- \ mu-1 [/ math] cuadrático con soluciones [math] \ mu = \ frac {1 \ pm \ sqrt {5}} {2} = \ tau [/ math] la proporción áurea. La excentricidad es [matemáticas] e = \ sqrt {1- \ left (\ frac {b} {a} \ right) ^ 2} = \ sqrt {1- \ frac {1} {\ tau ^ 2}} [/ matemáticas]. Esto se simplifica a [matemáticas] e = 1 / \ sqrt {\ tau} [/ matemáticas].