¿Cuáles son las (soluciones no triviales) de la siguiente ecuación entera [matemática] 2 x ^ 3 + y ^ 2 = z ^ k [/ matemática] donde [matemática] (x, y, z) [/ matemática] son ​​enteros distintos de cero y [matemáticas] k [/ matemáticas] es un número entero positivo mayor que tres?

Answer 1

Gracias por A2A. Si entiendo bien su pregunta, está buscando triples enteros [matemática] (x, y, z) [/ matemática] de modo que [matemática] x, y, z [/ matemática] no sean [matemática] 0 [/ matemática ], [math] \ pm 1 [/ math] y poderes de [math] 2 [/ math] para diferentes [math] k \ geq 4 [/ math].

No podré darte una descripción completa porque es una tarea bastante difícil y va mucho más allá del alcance de las preguntas / respuestas estándar en Quora. Además, no veo por qué esta familia tan especial de diofantina Las ecuaciones deben ser interesantes desde la perspectiva matemática.

Sin embargo, le daré ejemplos de soluciones no triviales y explicaré cómo puede encontrar otras.

Deje [matemáticas] k = 4 [/ matemáticas].

Considere los siguientes triples

(-12, 116, ± 10)
(-150, 2600, ± 10)
(-18, 135, ± 9)
(-54, 567, ± 9)
(-4, 12, ± 2)

Deje [math] k = 5 [/ math].

(-45, 351, -9)
(-22, 67, -7)
(-6, 20, -2)
(-16, 96, 4)
(10, 76, 6)

Deje [matemáticas] k = 7 [/ matemáticas]

(-700, 26000, -10)
(-98, 1029, -7)
(-196, 3773, -7)
(-75, 875, -5)
(-92, 1248, 2)
(9, 27, 3)
(46, 292, 6)
(36, 432, 6)
(-18, 540, 6)
(-20, 544, 6)
(-180, 3456, 6)
(−146844, 79579152, 6)
(-49, 1029, 7)
(−162, 3645, 9)
(−486, 15309, 9)
(−300, 8000, 10)

Creo que debería parar aquí y espero que estos ejemplos sean suficientes para verificar todas sus suposiciones / conjeturas.

Si a alguien le importa, encontré estos ejemplos usando Sage (software de matemáticas).

Al multiplicar la ecuación por [matemáticas] 4 [/ matemáticas] y hacer una sustitución de variables [matemáticas] X = -2x, Y = 2y, Z = z [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] Y ^ 2 = X ^ 3 + 4Z ^ {k}. [/ matemáticas]

Para cada [matemática] k [/ matemática] fija, describe (una parte afín) de la fibración elíptica. Hay un algoritmo relativamente efectivo implementado en Sage que permite encontrar puntos integrales en curvas elípticas.

Para producir estos ejemplos, elegí [matemática] Z [/ matemática] en el rango [matemática] -10, \ ldots, -1 [/ matemática] y [matemática] 1, \ ldots, 10. [/ Matemática] y [matemática] k = 4, 5, 7 [/ matemáticas].

El código Sage contiene solo unas pocas líneas, pero uno podría hacerlo mejor y automatizar completamente esta tarea.

for z in range(1,11):
print"z=",z
EllipticCurve([0,0,0,0,4*(z)**7]).integral_points()


En este fragmento de código [math] k = 7 [/ math] y [math] z = 1, \ ldots 11 [/ math].
Estamos interesados ​​solo en triples con incluso [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas].

Answer 2

Se trata de soluciones triviales para (x, y, z, k), para k enteros impares mediante pequeñas inspecciones que son
(-1, 1, -1, k),
(-1, -1, -1, k),
& para k = 2Mod3, k es un entero positivo impar, las soluciones son
(2 ^ [(k-2) / 3]), (+/-) 2 ^ [(k-1) / 2], 2, k),
& para k = 1Mod3, k es un entero positivo impar, las soluciones son
(3 ^ [(k-1) / 3], (+/-) 3 ^ [(k-1) / 2], 3, k),
y para soluciones triviales generales con factor común
x = (2 ^ n) * m ^ ([k-1] / 3)
y = (+/-) m ^ ([k-1] / 2)
z = m
k es un entero positivo impar & k = 1Mod3
m = 2 ^ (3n + 1) +1, donde n es un número natural
aún así, puede haber otras soluciones con un factor común que hasta ahora no vi
Unas pequeñas inspecciones elementales (para encontrar otras soluciones) muestran que solo uno de (x, y, z) es incluso entero y es solo para x, y no es un factor común de (x & y), de lo contrario, asuma n como común factor mayor que dos, esto implicaría 2 * (n ^ 3) * x ^ 3 + (n ^ 2) * y ^ 2 = (n ^ k) * z ^ k, lo que significa que n es un número cuadrado que divide y nuevamente , lo cual es una contradicción, de hecho, esta conclusión elemental podría llegarse de múltiples maneras, por lo que podemos repetir el enunciado de la pregunta mencionada anteriormente en una nueva versión como la siguiente conjetura
“Si (x & y) son dos enteros distintos de cero distintos y primos entre sí (en sus valores absolutos), entonces, no existe ninguna solución de número entero para la ecuación de esta forma
2 * x ^ 3 + y ^ 2 = z ^ k, donde, x es un entero, z es un entero distinto de cero yk es un entero positivo mayor que dos ”

Atentamente
Bassam Karzeddin

Answer 3

Mira la siguiente identidad auto probada

Si: x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ k

Donde (x, y, z, k) son enteros positivos yk es mayor que dos,
mcd (x, y) = 1, entonces la solución en números enteros es la siguiente

x = [1/2] * [n – sqrt ([4z ^ k – n ^ 3] / 3n)

y = [1/2] * [n + sqrt ([4z ^ k – n ^ 3] / 3n), donde

4z ^ k es mayor que n ^ 3 y z ^ k menor que n ^ 3

Donde la prueba es muy simple y nunca dará una solución racional

Saludos
Bassam Karzeddin