Deje [math] p [/ math] ser un número primo impar y [math] \ zeta = \ zeta_p = \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {p} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {p} \ right) [/ math]. ¿Cómo haces lo siguiente?

Answer 1

a) [matemáticas] n = p [/ matemáticas]. Entonces [math] \ zeta: = \ zeta_p [/ math] es una primitiva [math] p [/ math] -th raíz de la unidad. En particular, satisface la ecuación [matemáticas] x ^ p -1 = (x-1) (x ^ {p-1} + x ^ {p-2} + \ ldots +1) [/ matemáticas].

Otros números que satisfacen esta ecuación son los poderes de [math] \ zeta [/ math]. Tenga en cuenta que [math] p [/ math] es primo, cada raíz de la unidad [math] \ zeta [/ math] excepto [math] 1 [/ math] es un generador del grupo de [math] p [/ math] -th raíces de la unidad, es decir, estos poderes son exactamente todas las raíces. Tenga en cuenta que [math] \ zeta ^ {p} = \ zeta ^ {0} = 1 [/ math]. Creo que debería parar aquí.

b) De a) sabemos [matemáticas] \ prod_ {i = 1} ^ {p-1} (x – \ zeta ^ {i}) = x ^ {p-1} + x ^ {p-2} + \ ldots 1 [/ math]. Enchufe [math] x = 1 [/ math] para verlo.

c) La forma más fácil de verlo usando el hecho de que la norma de este elemento es 1.
Si no sabe lo que significa la norma en este contexto, permítanos hacer una prueba explícita.

Encontremos el inverso de [math] \ frac {1- \ zeta ^ 2} {1- \ zeta} [/ math].

Tenemos:

[matemáticas] \ frac {1- \ zeta ^ 2} {1 – \ zeta} \ cdot \ frac {1- \ zeta ^ 3} {1 – \ zeta ^ 2} \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1- \ zeta ^ 4} {1 – \ zeta ^ 3} \ ldots \ frac {1- \ zeta ^ {p-1}} {1 – \ zeta ^ {p-2}} = [/ math] [ matemáticas] \ frac {1- \ zeta ^ {p-1}} {1 – \ zeta} [/ matemáticas]

Además [matemáticas] \ frac {1- \ zeta ^ {p-1}} {1 – \ zeta} = \ frac {1 – \ zeta ^ {- 1}} {1- \ zeta} = – \ frac {1 } {\ zeta} [/ math]

Por lo tanto, el inverso es [matemáticas] \ frac {1- \ zeta ^ 3} {1 – \ zeta ^ 2} \ ldots \ cdot \ frac {1- \ zeta ^ {p-1}} {1 – \ zeta ^ { p-2}} \ cdot {- \ zeta} = [/ matemática] [matemática] – \ frac {1- \ zeta ^ {p-1}} {1 – \ zeta ^ 2} \ zeta [/ matemática]

Queda por ver por qué [math] \ frac {1- \ zeta ^ {p-1}} {1 – \ zeta ^ 2} \ in \ mathbf {Z} [\ zeta] [/ math].

Pero está claro ya que [matemáticas] 1- \ zeta ^ {p-1} = 1- (\ zeta ^ {2}) ^ \ frac {p-1} {2} [/ matemáticas] ([matemáticas] p \ neq 2 [/ matemáticas], es decir, impar)
Por lo tanto, al factorizarlo puede cancelar [math] 1 – \ zeta ^ 2 [/ math] y obtener una combinación lineal con coeficientes enteros de potencias de [math] \ zeta [/ math].

Observación: Dado que los poderes de [math] \ zeta: = \ zeta_n [/ math] generan los grupos de n-ésimas unidades, a) yb) se mantienen para una [math] n \ in \ mathbf {N}
[/matemáticas]. Para la prueba de c) hemos usado que [math] n [/ math] es impar.