Aún no lo sabemos. Los únicos números primos conocidos de esta forma son 2, 11 y 101, pero es posible que existan más números primos.
Sabemos que [matemática] 10 ^ n + 1 [/ matemática] es compuesta siempre que [matemática] n [/ matemática] no sea una potencia de 2. Esto se debe a que podemos verificarlo fácilmente para cualquier [matemática] k, \ ell \ geq 1 [/ math] el número [math] 10 ^ {(2k + 1) \ ell} +1 [/ math] es divisible por [math] 10 ^ \ ell + 1. [/ math]
Esto significa que si hay algún otro primo de la forma [matemática] 10 ^ n + 1 [/ matemática], entonces debe tener la forma [matemática] 10 ^ {2 ^ m} +1 [/ matemática] para algunos entero positivo [matemática] m [/ matemática].
La gente ya ha comprobado que todos los [math] 10 ^ {2 ^ m} +1 [/ math] para [math] m \ in \ {2,3, \ dots, 23 \} [/ math] son compuestos. También sabemos que algunos valores más grandes de [math] m [/ math] también producen números compuestos (por ejemplo, porque podríamos encontrar un factor pequeño usando la división de prueba).
- Deje [math] p [/ math] ser un número primo impar y [math] \ zeta = \ zeta_p = \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {p} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {p} \ right) [/ math]. ¿Cómo haces lo siguiente?
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Hasta donde sé, el candidato más pequeño de esta forma con un estado de primalidad desconocido es el número [matemáticas] 10 ^ {2 ^ {24}} + 1 [/ matemáticas]. Que es un número con 16,777,217 dígitos, por lo que los cálculos pueden tomar un tiempo o dos.
Una búsqueda de primos de Fermat generalizados debería darle más información.