La ecuación [matemáticas] x ^ 2 + kx + 8 = k [/ matemáticas] no tiene soluciones reales para x. ¿Cuál es el mayor valor entero posible para k?

Answer 1

[matemáticas] x ^ 2 + kx + 8 = k \ implica x ^ 2 + kx + (8-k) = 0 [/ matemáticas]

Para que una ecuación cuadrática de la forma [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math] no tenga soluciones reales para [math] x, [/ math] y luego [math] b ^ 2-4ac <0. [/matemáticas]

Para nuestra pregunta, [matemáticas] a = 1, b = k, c = (8-k) [/ matemáticas]

[matemáticas] k ^ 2–4 (8-k) <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] k ^ 2 + 4k-32 <0 [/ matemáticas]

Trátelo como una igualdad para encontrar soluciones

[matemáticas] (k + 8) (k-4) = 0 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] k = -8, k = 4 [/ matemáticas]

Sea [matemáticas] f (k) = k ^ 2 + 4k-32 [/ matemáticas]

Cuando [math] k 0 [/ math] entonces para [math] f (k) -8 [/ math]

Cuando [math] k <4, f (k) <0 [/ math] así que para [math] f (k) <0 [/ math] queremos [math] k <4 [/ math]

Por lo tanto, los valores de [matemática] k [/ matemática] que satisfacen nuestra ecuación inicial son [matemática] -8 <k <4 [/ matemática]

Como solicitó el valor entero más grande de [math] k [/ math] que garantiza que [math] x ^ 2 + kx + 8 = k [/ math] no tiene raíces reales, la respuesta es [math] \ boxed {k = 3} [/ matemáticas]

Answer 2

bueno, a veces no confío en mis habilidades matemáticas, pero quizás entiendas el concepto. Para que una función cuadrática no tenga una solución real, su discriminante debe ser menor que cero (El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática que tiene raíz cuadrada, es decir, b ^ 2- 4ac, por lo que si es menor que cero significa que tendremos que encontrar la raíz cuadrada de un número negativo que no podemos / no tiene valores reales)

La solución a tu pregunta;

Reescribe la ecuación a x ^ 2 + kx + 8-k = 0

b ^ 2–4ac <0 por lo tanto: k ^ 2 - (4 * 1 * (8-k)) <0

= k ^ 2–32 + 4k <0

= (k + 8) (k – 4) <0

Si resuelve la ecuación y la traza en una recta numérica para descubrir los signos que obtendrá;

-8

También intenté dibujar un gráfico y obtuve los mismos valores de k.

Answer 3

Deje [math] y = x ^ 2 + kx + 8-k [/ math]. Configuración [matemática] y ‘= 0 [/ matemática],

[matemáticas] 2x + k = 0 \ Flecha derecha x = – \ frac {k} {2}. [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] y = – \ frac {1} {4} (k + 8) (k – 4) \ le 0 \ Rightarrow k \ le 3. [/ math]

Entonces, el valor entero más grande de [math] k [/ math] es [math] 3 [/ math].

Answer 4

Para que una cuadrática no tenga soluciones reales, la siguiente condición debe ser cierta:

[matemáticas] \ Delta = b ^ 2-4ac <0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Entonces, para algunos valores de [math] k [/ math] lo siguiente tiene que ser cierto:

[matemáticas] k ^ 2-4 (1) (8-k) <0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] k ^ 2 + 4k-32 <0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] (k-4) (k + 8) <0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la parábola se abre, por lo que en el intervalo [matemática] -8

Entonces, dado que [math] k = 4 [/ math] está en el límite (la ecuación tiene una raíz doble), el valor entero más grande de [math] k [/ math] es tres.

Answer 5

Para la ecuación [matemáticas] {a * x ^ 2 + b * x + c = 0} [/ matemáticas], las raíces que obtenemos son:

[matemáticas] {[- b + \ sqrt {(b ^ 2 – 4ac)}] / 2a} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] {[- b – \ sqrt {(b ^ 2 – 4ac)}] / 2a}. [/ matemáticas]

Así que aquí las raíces son [matemáticas] {[- k + \ sqrt {(k ^ 2 – 32)}] / 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] {[- k – {(k ^ 2 – 32)} ] / 2}. [/ Matemáticas]

Para raíces no reales, el término debajo de las raíces cuadradas debe ser negativo.

Entonces, [matemáticas] {k ^ 2 <32} [/ matemáticas].

Lo que significa [matemáticas] {k <4 \ sqrt {2}} [/ matemáticas].

Entonces [math] {k = 5} [/ math] es el valor integral máximo que [math] k [/ math] puede tomar.