Estoy escribiendo esto sin leer la otra respuesta, y escribiendo pensamientos a medida que me vienen a la mente, defectos y todo. Solo para mostrar cómo se puede llegar a una solución (¡espero que lo haga!)
Se nos da que [matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]. En realidad, hay una forma cerrada de encontrar todos estos triples pitagóricos como se les llama, pero no lo recuerdo en este momento y tendría que buscarlo.
Volvamos a la pregunta: queremos mostrar que [matemática] c ^ 2 – ab [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 + ab [/ matemática] son sumas de dos cuadrados. Probablemente los dos serán similares, por lo que tal vez podamos centrarnos en uno y la prueba para el otro será muy similar. Hmm, ¿o tal vez sea mejor probar ambos juntos?
De todos modos, antes de continuar, anotemos lo que queremos mostrar: que
[matemáticas] c ^ 2 – ab = p ^ 2 + q ^ 2 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] c ^ 2 + ab = r ^ 2 + s ^ 2 [/ matemáticas]
para algunos enteros [matemáticas] p, q, r, s [/ matemáticas].
Su diferencia sería [matemática] 2ab = r ^ 2 – p ^ 2 + s ^ 2 – q ^ 2 [/ matemática], por lo que tal vez podamos hacer algo con la diferencia de cuadrados allí.
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Una cosa que viene a la mente, y se descarta inmediatamente como una mala idea, es escribir [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas] como [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] arriba, y olvidarse de [matemáticas] c [/ matemáticas] de ahora en adelante. Es una mala idea porque sería descartar el hecho de que [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática] también es un cuadrado; definitivamente no es cierto para [matemática] a, b [/ matemática] arbitraria que [ matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + ab = r ^ 2 + s ^ 2 [/ matemáticas] (por ejemplo, tomar [matemáticas] a = 1, b = 1 [/ matemáticas]).
Así que parece que tenemos que usar ese hecho después de todo … esperaba evitar ir allí.
Hola antes de eso, tal vez podamos ver ejemplos (¡debería haber hecho esto primero en realidad!). Los famosos triples pitagóricos son [matemática] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 13 ^ 2 [/ matemática] (oye, ¿verdad? [Matemática] ] 25 + 144 = 169 [/ matemática] echa un vistazo, bien), así que echemos un vistazo:
con [matemática] c = 5, a = 3, b = 2 [/ matemática], tenemos [matemática] c ^ 2 + ab = 25 + 6 = 31 [/ matemática] que como una suma de dos cuadrados está bien, no [matemáticas] 25 + 6 [/ matemáticas] o [matemáticas] 16 + 15 [/ matemáticas] oye, ¿qué está pasando? ¿La pregunta es incorrecta? Oh mierda, tomé [matemáticas] b = 2 [/ matemáticas], hagámoslo de nuevo
con [matemática] c = 5, a = 3, b = 4 [/ matemática], tenemos [matemática] c ^ 2 + ab = 25 + 12 = 37 = 6 ^ 2 + 1 ^ 2 [/ matemática], y [matemáticas] c ^ 2 – ab = 25 – 12 = 13 = 3 ^ 2 + 2 ^ 2 [/ matemáticas]. Funciona.
Ok, y con [matemáticas] c = 13, a = 5, b = 12 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] c ^ 2 + ab = 169 + 60 = 229 = 15 ^ 2 + 2 ^ 2 [/ matemáticas ] y [matemáticas] c ^ 2 – ab = 169 – 60 = 109 = 10 ^ 2 + 3 ^ 2 [/ matemáticas]. (Puede haber otras formas, volveremos y verificaremos si no hay un patrón en nuestros ejemplos).
Nuestros ejemplos hasta ahora de [matemáticas] (a, b, c), (p, q) (r, s) [/ matemáticas] son
[matemáticas] (3, 4, 5) (2, 3) (1, 6) [/ matemáticas] y
[matemáticas] (5, 12, 13) (3, 10) (2, 15) [/ matemáticas].
Hay algunos patrones: en ambos casos, tenemos [matemática] p + q = c [/ matemática] y [matemática] s – r = c [/ matemática]. Estos no son suficientes para especificar [matemática] p, q, r, s [/ matemática], así que veamos más detenidamente, bueno, una cosa es que en ambos ejemplos la diferencia [matemática] q – p [/ matemática] (3-2 = 1 y 10-3 = 7) es lo mismo que la diferencia [matemática] b – a [/ matemática] (4-3 = 1 y 12-5 = 7). Dos ejemplos son demasiado pequeños para estar seguros de esto, pero “7” es un número lo suficientemente grande, así que si vamos con eso, tenemos
[matemáticas] q + p = c [/ matemáticas] y
[matemáticas] q – p = b – a [/ matemáticas]
lo que da
[matemática] q = (c + b – a) / 2 [/ matemática] y [matemática] p = (c – b + a) / 2 [/ matemática].
¿Esto siempre funciona? La única forma de averiguarlo es arremangarse y hacer el trabajo:
[matemáticas] 4 (p ^ 2 + q ^ 2) = (c + (ba)) ^ 2 + (c – (ba)) ^ 2 = 2 (c ^ 2 + (ba) ^ 2) = 4 (a ^ 2 + b ^ 2 – ab) = 4 (c ^ 2 – ab) [/ math] ¡funciona!
Ah, y ahora también podemos notar el otro patrón, al pensar en [matemáticas] a + b [/ matemáticas]: en ambos ejemplos tenemos [matemáticas] (a + b – c) = 2r [/ matemáticas] y [matemáticas ] (a + b + c) = 2s [/ math], y para esas expresiones tenemos:
[matemáticas] 4 (r ^ 2 + s ^ 2) = ((a + b) + c) ^ 2 + ((a + b) – c) ^ 2 = 2 ((a + b) ^ 2 + c ^ 2) = 4 (c ^ 2 + ab) [/ matemáticas]
Genial, hemos resuelto el problema ahora (solo tengo que decir que estos “/ 2” serán enteros, pero ese es un argumento de paridad directo), y podemos escribirlo como una prueba limpia sin todo el desastre anterior: el zorro borrando sus huellas, como alguien dijo sobre Gauss.
Terminaremos con una prueba que se ve exactamente como en la respuesta de Namig J. Guliyev.
De todos modos, ese es el resultado típico cuando trato de probar algo: muchos comienzos falsos, errores, retrocesos, algo de memoria, algunas lagunas vergonzosas en el conocimiento, cierta intuición sobre qué dirección seguir … y una lección que parece que nunca aprendí es que es Siempre es bueno comenzar con ejemplos primero.
Aquí hay otra forma de escribir lo mismo: para cualquier número entero positivo [matemática] (a, b, c) [/ matemática] que satisfaga [matemática] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática], es fácil para demostrar que son de la forma
[matemáticas] a = k (m ^ 2 – n ^ 2), [/ matemáticas]
[matemáticas] b = k (2mn), [/ matemáticas]
[matemáticas] c = k (m ^ 2 + n ^ 2) [/ matemáticas]
(posiblemente con [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] intercambiada) para algunos enteros positivos [matemática] k, m, n [/ matemática], donde [matemática] m [/ matemática] y [ matemáticas] n [/ matemáticas] son números enteros relativamente primos de paridad diferente (y [matemáticas] m> n [/ matemáticas]).
Entonces para nuestro problema original tenemos (suponiendo wlog que [math] k = 1 [/ math]),
[matemáticas] c ^ 2 + ab = (m ^ 2 + n ^ 2) ^ 2 + 2mn (m ^ 2 – n ^ 2) = (mn – n ^ 2) ^ 2 + (mn + m ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas] y de manera similar
[matemáticas] c ^ 2 – ab = (m ^ 2 + n ^ 2) ^ 2 – 2mn (m ^ 2 – n ^ 2) = (m ^ 2 – mn) ^ 2 + (n ^ 2 + mn) ^ 2 [/ matemáticas]