¿Por qué es tan difícil la combinatoria?

Answer 1

Creo que es difícil porque no es tan formulista como la mayoría de las otras matemáticas aplicadas que normalmente encuentras como estudiante universitario. Por lo general, hay un número relativamente grande de enfoques que un estudiante inteligente y bien preparado podría intentar emplear para resolver un problema. Muchos de esos enfoques podrían incluso parecer plausibles después de cinco o diez minutos de intentar utilizarlos para encontrar una solución. A menudo, hay una manera de resolver el problema que es relativamente simple, pero puede ser difícil de ver, especialmente antes de probar otras ideas, por qué ese enfoque es óptimo hasta que adquieras mucha más experiencia.

Como resultado, los estudiantes a menudo sienten que cada problema está muy alejado de los ejemplos que han visto resueltos. A menudo no pueden decir al final de un enfoque si obtuvieron o no la respuesta correcta. Encuentran dos soluciones diferentes (con diferentes respuestas) igualmente plausibles. Todo esto lleva a la frustración y la confusión. Y la única manera de superar esa confusión y frustración es hacer MUCHA práctica hasta que las soluciones correctas comiencen a ser más naturales. Pero eso suena como mucho trabajo para la mayoría de los estudiantes.

Y aun así, no es difícil inventar problemas que sean simples de entender pero muy, muy difíciles de resolver …

Answer 2

La combinatoria se trata de contar cosas de una manera inteligente, en lugar de contarlas una por una (como en 1, 2, 3, …). Desafortunadamente, en la mayoría de los casos no está claro de inmediato cuál es una “forma inteligente” de contar, y no hay pautas fáciles de seguir.

Considere el problema de contar la cantidad de manos distintas de tres en un póker. Puede escribir todas las manos posibles tres en uno, una por una, y contarlas de esa manera:

2 ♦ 2 ♠ 2 ♣ K ♠ 6 ♥
4 ♦ 4 ♣ 4 ♠ 8 ♣ 7 ♦
J ♠ J ♥ J ♦ 7 ♠ 4 ♣
…

Obviamente esto tomará una eternidad. Así que quieres encontrar una manera inteligente de hacer esto. Por donde empiezas Es muy difícil ver de inmediato cómo atacar este problema. Así que siéntate y piensa en ello, trata de identificar algunos patrones o regularidades que te ayudarán a contar de manera sistemática.

Eventualmente notará que las tres cartas coincidentes en la mano (las “tres en un tipo”) pueden llevar 1 de 13 posibles denominaciones y, para cualquier denominación elegida, una combinación de 3 de 4 posibles palos. Las otras dos cartas en la mano llevarán 2 denominaciones diferentes de las 12 restantes, y pueden tener cualquier combinación de palo. Una vez que identifica estas regularidades, el trabajo se reduce a contar combinaciones de trajes o denominaciones, lo cual es relativamente fácil. El resultado resulta ser

[matemáticas] {13 \ elegir 1} {4 \ elegir 3} {12 \ elegir 2} {4 \ elegir 1} ^ 2 = 54,912 [/ matemáticas]

Tres manos distintas en total.

Tenga en cuenta, en primer lugar, que esta “forma inteligente” que hemos descubierto no nos la proporciona ningún algoritmo fácil, pero lo alcanzamos a través del pensamiento creativo y el ensayo y error. Hay formas alternativas de atacar el problema, y ​​algunas de ellas pueden llevarnos a la respuesta correcta eventualmente, pero otras fácilmente nos llevarán a contar de más o menos si no tenemos cuidado. Es difícil identificar “buenas” y “malas” rápidamente. También tenga en cuenta que la forma inteligente que hemos encontrado para este problema en particular solo se aplica a este problema en particular (y otros muy similares, como contar el número de manos cuatro en uno). Para otros problemas de conteo, incluso los que involucran manos de póker, necesitará sentarse y descubrir otras formas inteligentes, nuevamente a través de prueba y error. (Intente contar el número de manos “sin pareja” o “carta alta”, donde no tiene una correspondencia útil entre las cartas).

En resumen, la combinatoria es difícil porque no existe un algoritmo fácil y listo para contar cosas rápidamente. Debe identificar los patrones / regularidades que ofrece el problema particular en cuestión y explotarlos de una manera inteligente para dividir el gran problema de conteo en problemas de conteo más pequeños.

Answer 3

Esta es realmente una pregunta para psicólogos en lugar de matemáticos, ¿no? 🙂 Yo tampoco; Sin embargo, aquí hay algunos pensamientos que se me ocurren.

• Pocos de nosotros aprendemos alguna teoría de números en la escuela. La mayoría de las matemáticas que aprendemos o encontramos la necesidad de practicar involucra números racionales o reales que pueden tratar con números discretos como en combinatoria y teoría de números más desafiante de lo que debería ser.
• Una vez tuve un profesor de estadística que dijo que hay dos categorías de personas, las que pueden contar y las que no. Desafortunadamente, me asigné de inmediato al segundo grupo, por lo que era inevitable que no entendiera incluso lo básico durante su curso. Hacer predicciones como esa puede hacerlas realidad.
• Como Descartes nos mostró cómo graficar funciones, todos nos hemos acostumbrado completamente a esta metáfora de las funciones bidimensionales. Es solo ahora que podemos calcular fácilmente las denumeraciones que ayudan a la intuición.
• La intuición sin ayuda no parece funcionar.
• El número de posibilidades a menudo se vuelve muy grande y difícil de manejar rápidamente.

Answer 4

La combinatoria y las estadísticas son disciplinas casi totalmente ajenas, por lo que es improbable que cualquier hábito de pensamiento que utilice su profesor de estadísticas le resulte muy útil al pensar en la combinatoria.

Pero para responder a su pregunta principal: ¿qué le hace pensar que debería ser más fácil? Los problemas de la combinatoria básica son quizás engañosamente fáciles de enunciar, pero eso no los hace fáciles de resolver.

Tampoco ha indicado (a) su formación matemática, o (b) el nivel y la cobertura del curso, por lo que es difícil evaluar lo que le puede resultar difícil o no en función de su éxito en otros cursos. Por ejemplo, en algunos departamentos de matemáticas, la combinatoria es uno de los cursos de “puerta de entrada a la prueba”, lo que significa que una de las dificultades es aprender lo que constituye una prueba lógica en primer lugar. (Nota: esto puede agravarse con el curso impartido por un estadístico, ya que la mayoría de los cursos de estadística no implican pruebas y el profesor puede no tener mucha facilidad para enseñar esta habilidad).