¿Existe un método matemático para encontrar x donde x ^ x = y, y representando un número entero positivo?

Answer 1

Justin Rising es correcto para números reales, pero usted preguntó sobre enteros positivos, y hay una manera de encontrar cualquier solución entera exacta.

Factorice Y en su representación de números primos [matemática] p_1 ^ {e_1} p_2 ^ {e_k} … p_k ^ {e_k} [/ matemática]. Si [math] N = \ gcd (e_1, e_2,… e_k) [/ math] es igual a 1, entonces no existe tal [math] X [/ math]. De lo contrario, debemos verificar si [math] y ^ {1 / D} = D [/ math] para cada divisor [math] D [/ math] de [math] N [/ math].

Por ejemplo, [matemáticas] y = 46656 = 2 ^ 6 3 ^ 6 [/ matemáticas]. El MCD es 6, y obviamente [matemáticas] y = 6 ^ 6 [/ matemáticas].

¿Podemos encontrar un caso en el que los exponentes no sean todos iguales? Supongamos que tenemos [matemáticas] Y = p_1 ^ {X} p_2 ^ {KX} p_3 ^ {X} [/ matemáticas]. Entonces [matemática] Y = (p_1 p_2 ^ K p_3) ^ X [/ matemática], y queremos [matemática] p_1 p_2 ^ K p_3 = X [/ matemática]. [matemática] 7 * 11 ^ 2 * 13 = 11011 [/ matemática] entonces [matemática] 11011 ^ {11011} [/ matemática] se ajusta a la factura, con “solo” 44,505 dígitos.

¿Qué tal un caso donde X es un divisor de la MCD? Diga, [matemáticas] Y = p_1 ^ {DX} p_2 ^ {DX} p_3 ^ {DX} [/ matemáticas]. Entonces queremos [matemáticas] p_1 ^ Dp_2 ^ Dp_3 ^ D = X [/ matemáticas]. Fácilmente, [matemáticas] 2 ^ 2 3 ^ 2 5 ^ 2 = 900 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 900 ^ {900} = 2 ^ {1800} 3 ^ {1800} 5 ^ {1800} [/ matemáticas ] demuestra que es necesario verificar los divisores, no solo el GCD.

Answer 2

Es mejor usar métodos numéricos. Puede escribir una solución en términos de la función Lambert W, pero no puede evaluarla a mano, por lo que no hay un valor real allí.