Cómo demostrar que para cada [matemática] a \ lt b, [/ matemática] [matemática] a, b \ in \ mathbb {N} [/ matemática] 1) [matemática] 3 ^ {2 ^ a} +1 [ / math] divide [math] 3 ^ {2 ^ b} -1 [/ math] 2) Si [math] d \ gt 2, d \ in \ mathbb {N} [/ math], entonces [math] d [ / math] no divide tanto [math] 3 ^ {2 ^ a} + 1 [/ math] como [math] 3 ^ {2 ^ b} -1 [/ math]

Answer 1

No es dificil. Puede establecer [math] b = s + a [/ math] para [math] s \ in \ mathbf {N} [/ math].

Denote [math] m = 3 ^ {2 ^ a} [/ math]. Entonces [matemáticas] 3 ^ {2 ^ b} -1 [/ matemáticas] [matemáticas] = 3 ^ {2 ^ {a + s}} -1 = [/ matemáticas] [matemáticas] \ izquierda (3 ^ {2 ^ a} \ right) ^ {2 ^ s} -1 = [/ math] [math] m ^ {2 ^ s} -1 [/ math].

Entonces puede ver fácilmente que [matemática] m \ pm 1 [/ matemática] divide [matemática] m ^ {2 ^ s} -1 [/ matemática] por inducción.

Para [math] s = 1 [/ math] está claro ya que [math] m ^ 2 -1 = (m-1) (m + 1) [/ math].

Para [math] s \ geq 1 [/ math] tienes [math] m ^ {2 ^ s} -1 = (m ^ {2 ^ {s-1}} -1) (m ^ {2 ^ {s -1}} + 1) [/ matemáticas]. Luego use la hipótesis de inducción para [math] m ^ {2 ^ {s-1}} -1 [/ math].

@ 2) Está mal. Tome [matemáticas] d = m + 1> 2 [/ matemáticas]. Entonces [math] d [/ math] divide tanto [math] m + 1 [/ math] como [math] m ^ {2 ^ s} -1 [/ math].

Pero, por ejemplo, puede concluir que [matemática] d> 2 [/ matemática] no divide tanto [matemática] m-1 [/ matemática] como [matemática] m + 1 [/ matemática] desde entonces [matemática] d [ / matemáticas] dividiría su diferencia.

También puede concluir que [matemática] d> 2 [/ matemática] no divide tanto [matemática] m ^ {2 ^ s} +1 [/ matemática] como [matemática] m \ pm 1. [/ Matemática] En este caso [matemática] m ^ {2 ^ s} +1 = m ^ {2 ^ s} -1 +2 = (m \ pm 1) q _ {\ pm 1} +2 [/ matemática].