¿Cómo sabemos el último dígito del número de Graham?

Answer 1

Tenemos una fórmula para calcular los últimos dígitos del número de Graham. Puedes leer más sobre esto en la Wiki.

Un algoritmo simple para calcular estos dígitos puede describirse de la siguiente manera: sea x = 3, luego itere, d veces, la asignación x = 3 x mod 10 d . Excepto por omitir cualquier 0 inicial, el valor final asignado a x (como un número de base diez) se compone de los d dígitos decimales más a la derecha de 3 ↑↑ n , para todo n > d . (Si el valor final de x tiene menos de d dígitos, se debe agregar el número requerido de ceros iniciales).

Sea k la cantidad de estos dígitos estables , que satisfacen la relación de congruencia G (mod 10 k ) ≡ [GG] (mod 10 k ). k = t -1, donde G ( t ): = 3 ↑↑ t . Se deduce que, g63 ≪ k ≪ g64.

El algoritmo anterior produce los siguientes 500 dígitos decimales más a la derecha del número de Graham (o de cualquier torre de más de 500 3)

… 02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387

Answer 2

De hecho es fácil. Por definición, es una potencia de 3. (Tiene la forma 3 ^ (3 ^ k) con k impar).
Así que echemos un vistazo a los últimos dígitos de potencias de 3.
3 ^ 0 -> 1.
3 ^ 1 -> 3.
3 ^ 2 -> 9.
3 ^ 3 -> 7.
3 ^ 4 -> 1.

Es fácil ver que 3 ^ a termina en 1 si 4 divide a, en 3 si 4 divide a-1, en 9 si 4 divide a-2 y en 7 si 4 divide a-3.

Así que veamos el exponente del número de Graham. El exponente también es una potencia de 3, de la forma 3 ^ k con k impar. Echemos un vistazo a los residuos de 3 ^ k cuando se divide por 4, para k distintos.

3 ^ 0 -> 1.
3 ^ 1 -> 3
3 ^ 2 -> 1

es fácil ver 4 divide 3 ^ k-1 si k es par y divide 3 ^ k-3 si k es impar.

Entonces vemos que 4 divide 3 ^ k-3 ya que k es impar. Por lo tanto, el número de Graham termina en 7.

Para el primer dígito , se vuelve mucho más complicado.