¿Cuál es una explicación intuitiva de por qué hay números primos infinitos?

Answer 1

La intuición es un asunto bastante personal; me parece que tu intuición te está engañando sobre todos los conjuntos infinitos, no solo los primos.

Quitar más y más de un conjunto finito eventualmente lo agota; ese parece ser el fundamento de tu intuición. Pero no siempre es cierto en un conjunto infinito.

Quizás lo siguiente puede abrir su intuición para pensar en este conjunto infinito en particular:

1. Del conjunto de enteros, deje 1 pero quite todos los otros enteros que no sean divisibles por 2 (es decir, quite todos los números impares).
   El conjunto restante sigue siendo infinito.
2. Del conjunto restante, deje 1 y 2, pero quite todos los demás enteros que no sean divisibles por 4.
   El conjunto restante sigue siendo infinito.
3. Del conjunto restante, deje 1, 2 y 4, pero quite todos los demás enteros que no sean divisibles por 8.
   El conjunto restante sigue siendo infinito.
4. […]

Claramente en cada paso de este proceso, queda un conjunto infinito. El límite del proceso deja un conjunto infinito, a saber: El conjunto de potencias de 2.

Lo mismo ocurre con la separación de los compuestos: en cada paso, aunque elimine un conjunto infinito de un sabor particular de compuestos, el conjunto restante sigue siendo infinito.

Answer 2

Dos puntos de posible interés. En primer lugar, los primeros 100 enteros contienen 25 primos: eso es 25%.

En segundo lugar, cuando se identifica un nuevo primo, la mayoría de sus múltiplos ya se identificaron como compuestos. Solo los números compuestos con el nuevo primo como factor más pequeño son números compuestos recientemente identificados. Entonces, por ejemplo, si configuramos un tamiz de los primeros 10000 números e identificamos primos y múltiplos progresivamente, cuando lleguemos a 101 (el primer primo mayor que la raíz cuadrada de 10000), todos los números restantes sin marcar en el tamiz serán principal.

Es por eso que hay tantos números primos menores que 100: solo excluimos múltiplos de 2,3,5 y 7. De hecho, no tenemos que verificar 11 hasta que pasemos 121, y mientras tanto tenemos 101, 103 , 107, 109 [una llamada primera década rara], y 113. Entonces, como han dicho otros, los números primos se están volviendo un poco más escasos que 100, pero aún no mucho.

Answer 3

La prueba matemática de lo anterior puede ser
Supongamos que los números primos son finitos P1, P2 …… .Pn representa todos los números primos a partir de 2

Supongamos un número
Pm = (P1 x P2 x P3 …… ..Pn) +1

Ahora vemos que este número Pm será mayor que Pn porque es el producto de todos los primos más pequeños, incluido Pn

También podemos ver que Pm deja el resto 1 cuando se divide por cualquiera de los primos más pequeños de P1-Pn

Ya sea
El caso (i) Pm es divisible por un primo no mayor que Pn

O
Caso (ii) Pm no es divisible por ningún primo menor que

En ambos casos existe un número primo. mayor que Pn.

Por lo tanto, para cualquier Pn siempre habrá un número primo mayor que él y nuestra suposición fue incorrecta

Answer 4

Después de considerar 2, hemos descalificado el 50% de todos los números. Después de 3, hemos descalificado 1/3 del resto, por lo que nos queda el 33% de los números. Después de 5, hemos descalificado 1/5 del resto, por lo que nos queda el 26% de los números.

A medida que avanzamos, seguimos descalificando más y más números. ¡Pero siempre quedan algunos! Por lo tanto, debemos esperar que siempre haya más números primos, pero se vuelven cada vez menos comunes. Que es exactamente lo que vemos!

Su argumento es totalmente correcto, pero no muestra que nos vamos a quedar sin primos, solo que se volverán menos comunes.

Answer 5

El número de primos es infinito significa que no importa qué número me des, puedo mostrarte un conjunto de primos que tiene más que tantos elementos. Una forma de probar esta afirmación es por contradicción, como en muchas de las otras respuestas. Otra forma de demostrar esto es dar un procedimiento para generar un conjunto de números primos mayores que cualquier número natural finito dado .

Consideramos el número [matemáticas] 2 ^ {2 ^ n} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 [/ matemáticas].
La identidad estándar [matemáticas] x ^ 4 + x ^ 2 + 1 = (x ^ 2 + x + 1) * (x ^ 2-x + 1) [/ matemáticas] da que
[matemáticas] 2 ^ {2 ^ n} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 = (2 ^ {2 ^ {n-1}} + 2 ^ {2 ^ {n-2}} + 1) * (2 ^ {2 ^ {n-1}} – 2 ^ {2 ^ {n-2}} + 1) [/ matemáticas].
Ahora los dos [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 2 ^ {2 ^ {n-2}} + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {n-1}} -2 ^ {2 ^ {n-2}} + 1 [/ math] son ​​impares, por lo tanto solo tienen factores impares. Pero cualquier número que divida a ambos también debe dividir su diferencia [matemática] 2 * 2 ^ {2 ^ {n-1}} [/ matemática], es decir, debe dividir 2. Por lo tanto, ambos factores son primos.
Ahora podemos simplemente probar usando la inducción que [matemáticas] 2 ^ {2 ^ n} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 [/ matemáticas] tiene al menos n factores primos. [matemática] 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 2 ^ {2 ^ {n-2}} + 1 [/ matemática] tiene al menos [matemática] n-1 [/ matemática] factores primos por hipótesis de inducción y al menos un factor primo diferente proviene de [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {n-1}} – 2 ^ {2 ^ {n-2}} + 1 [/ matemáticas], ya que es co-primo para el otro factor. Para el caso base [matemática] n = 1 [/ matemática], [matemática] 2 ^ {2 ^ n} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 = 7 [/ matemática], que tiene 1 factor primo

Por lo tanto, el conjunto de factores primos de [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {n}} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 [/ matemáticas] tiene al menos n primos. (De hecho, estrictamente más de n primos si n es mayor que 4). Esto completa la prueba de que hay un número infinito de primos.

Answer 6

Suponga lo contrario, que solo hay un número finito de números primos. Multiplíquelos todos juntos y obtendrá un número compuesto divisible por todos los números primos. Ese número más 1 es divisible por ninguno de ellos. Ahora has construido otro, nuevo primo. Por lo tanto, no puede haber un número finito de primos.

Answer 7

Básicamente es porque si comienza con un número finito de números primos y los multiplica de todas las formas posibles para generar números compuestos, generará solo un pequeño subconjunto del conjunto de todos los enteros positivos. Una explicación intuitiva de por qué debería haber “números faltantes” es que cuando cuenta por 2, omite 1 número en cada paso. Cuando cuenta por 3, omite 2 números, pero llenará algunos de los espacios que quedan de contar por 2. Si continúa este proceso, se llenarán más y más espacios, pero siempre habrá algunos espacios (que consisten en enteros muy grandes) se dejaron sin llenar, porque en cierto sentido contar por n y contar por m no se alinean bien entre sí.

Answer 8

Si hubiera muchos primos, [math] \ pi [/ math] sería racional.

Tome la suma de Liebniz [matemáticas] 1- \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} + \ frac {1} {9} -… = \ pi / 4 [/matemáticas]. Representarlo como un producto Euler da un producto sobre números primos impares [matemáticas] (\ frac {1} {1+ \ frac {1} {3}}) \ cdot (\ frac {1} {1- \ frac {1 } {5}}) \ cdot (\ frac {1} {1+ \ frac {1} {7}}) \ cdot (\ frac {1} {1+ \ frac {1} {11}}) \ cdot … = \ Pi / 4 [/ math] (el signo es alterno para cada primo [math] p [/ math], el signo es [math] (-1) ^ {\ frac {p + 1} {2}} [/matemáticas]). Claramente, si hubiera muchos primos finitos, [math] \ pi [/ math] sería racional. Por supuesto, sabemos que [math] \ pi [/ math] es irracional, por lo que debe haber infinitos números primos.

Answer 9

Supongamos que hubo finitamente muchos. Deje que P sea su producto. Entonces P + 1 da el resto 1 a todos los primos, por lo que no es divisible por ningún primo, por lo tanto, sus únicos divisores son 1 y sí mismo, por lo que es un primo, lo que contradice la suposición de que ya teníamos todos los primos.
Por lo tanto, el número de primos es infinito.
Esto es esencialmente el teorema de Euclides § Prueba de Euclides .

EDITAR: En la prueba anterior, me perdí un caso: P + 1 es compuesto. Pero ciertamente no es divisible por ninguno de aquellos en el producto P, y por lo tanto es divisible por algunos números primos diferentes de aquellos en el producto P, lo que lleva a otra contradicción: P ya los tiene todos.

Answer 10

Es tedioso comparar los números que están “descalificados” con el número total de enteros, así que aquí hay otra explicación.

Supongamos que hay muchos primos finitos, etiquetados como p1, p2 … pN. Ahora considere el número P = p1 * p2 * … * pN + 1. Puede ver fácilmente que P no es divisible por ninguno de los números primos, por lo que hemos encontrado un nuevo número primo. Sin embargo, esto contradice nuestra suposición inicial de que solo hay muchos primos finitos, por lo que concluimos que el número de primos debe ser infinito.

Answer 11

De manera similar a la respuesta de Jason Martin: al igual que la serie armónica, la suma de los recíprocos de los números primos no converge. Si lo hiciera, habría un número finito de números primos.

Answer 12

Supongamos que tenemos un número primo más grande. Por ejemplo, digamos que es 7. Bueno, si multiplicamos todos los números primos que conducen a 7, incluido el siete, y luego solo sumamos 1 (o restamos 1), terminamos en lo que claramente es otro número primo, que es mayor de 7.

7x5x3x2 = 210

210 + 1 = 211, y
210-1 = 209

Ambos son nuevos números primos mayores que 7. Entonces, la suposición de que 7 era el límite superior para todos los números primos era toro total. Y puede hacer esto para que todos los primos terminen generando primos aún más grandes. Aunque, los números aumentan bastante rápido, un poco como los cálculos factoriales.

Answer 13

Si sigues esta lógica, eliminas el 50% de los números cuando tocas 2, el 33% cuando tocas 3 y el 20% cuando tocas 5. Esto se suma al 103%. De manera intuitiva, debe esperar que 5 sea el número primo más grande. Probablemente sepa que 5 no es el número primo más grande. Una vez que obtenga una comprensión intuitiva de por qué 5 no es el número primo más grande, esa es la misma razón por la que ningún otro número es el primo más grande.

Answer 14

La prueba de Euclides de que hay una infinidad de números primos puede condensarse, para el profesional, en una sola línea.

‘Si [math] p_1, p_2, …, p_n, 1 + p_1p_2 … p_n [/ math] no es divisible por ninguna [math] p_m [/ math]’

Answer 15

No entiendo por qué te parece intuitivo que haya un número finito de números primos. Considerar:

• Hay un número infinito de números enteros.
• Sabemos que muchos de ellos son números primos
• Cuanto más lo intentamos, más números primos seguimos encontrando
• Hemos estado en esto ahora por siglos

Teniendo en cuenta estos hechos, ¿no es algo más razonable adivinar que hay un número infinito de números primos que se agotan en algún momento que aún no hemos alcanzado?

Si le pidieran apostar una apuesta en este punto, ¿qué lado tomaría?