Cómo demostrar que el producto de [math] m [/ math] números naturales consecutivos es divisible por [math] m [/ math] usando el principio de inducción matemática

Probarlo por inducción me parece una idea perversa.

Puede ver fácilmente que todos los enteros consecutivos [matemáticos] m [/ matemáticos] tienen restos de división por pares diferentes entre [matemáticos] m [/ matemáticos] (de lo contrario, su diferencia sería divisible entre [matemáticos] m [/ matemáticos] lo que significa que es [matemática] 0 [/ matemática] o su valor absoluto es al menos [matemática] m [/ matemática],
lo que claramente contradice el hecho de que los números son consecutivos).

Es decir, tiene [matemática] m [/ matemática] restos diferentes de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] m-1 [/ matemática]. Por lo tanto, un resto debe ser [matemática] 0 [/ matemática], lo que significa que un número en este producto es un múltiplo de [matemática] m [/ matemática].

Bueno, puede tomar esta prueba, hacer una hipótesis de inducción, pero nunca usarla mientras incrementa [matemática] m [/ matemática] en una. Desde el punto de vista formal, no tiene nada de malo.

Siempre habrá un número divisible por m en m enteros consecutivos.

Sea m 3. Eso significa que siempre hay un número en cada 3 divisible por 3. (Pruebe números aleatorios)
Y en lo que respecta a POMI, todos sabemos lo que debemos hacer

Llevando el 3 que elegí hacia adelante, según el Lema de la División de Euclides, cualquier Entero tendrá la forma 3n, 3n + 1, 3n + 2, donde n es algún entero nuevamente.

Multiplicándolos, obtienes (3n) (3n + 1) (3n + 2) que tiene que ser divisible por 3.

PARA POMI siempre puedes probarlo para k y demostrar que es cierto para k + 1.

More Interesting

¿Qué es un algoritmo para encontrar el número N de base 10 más pequeño, mayor que la entrada, de modo que N se escriba con todos los 1 y 0 y la entrada sea un factor de N?

Dado un polinomio secreto con coeficientes enteros posiblemente negativos, y la capacidad de consultar el valor del polinomio en cualquier número entero, ¿qué tan eficientemente se puede calcular el polinomio exacto?

¿Cuáles son los escándalos más interesantes en la historia de las matemáticas?

Encuentre todos los enteros positivos a, b, c y el número primo p, de modo que la igualdad dada se mantenga: a ^ p + b ^ p = p ^ c?

¿Cuáles son los avances más actuales en el campo de la teoría de números en términos de la hipótesis de Riemann?

Deje que [math] K [/ math] sea un campo. Considere [math] A = \ underset {\ mathbf {N} _0} {\ bigoplus} K [/ math] con una estructura aditiva natural. ¿Cómo encuentras que algunas o mejor describen todas las estructuras multiplicativas en [matemáticas] A [/ matemáticas] convirtiéndolas en un anillo conmutativo ([matemáticas] K [/ matemáticas] -álgebra) con identidad?

¿De cuántas maneras se pueden sentar ocho personas, indicadas [matemáticas] A, B, \ ldots, H [/ matemáticas], alrededor de una mesa cuadrada con capacidad para dos personas en cada lado, de modo que dos de las ocho personas digan [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], ¿no se sientan uno al lado del otro?

¿Es el equivalente euclidiano a UFD para dominios cuadráticos sobre enteros (es decir, [matemática] Z [\ sqrt {D}] [/ matemática]), donde [matemática] D [/ matemática] también es un entero?

Dado que n es un número natural yn ^ 3 tiene 16 factores. Entonces, ¿cuántos factores máximos puede tener n ^ 4?

¿Por qué las personas aparentemente inteligentes pierden su tiempo y el de los demás al demostrar que la suma de todos los números naturales positivos es igual a -1/12, cuando la lógica simple dicta que su prueba es incorrecta?