Cómo demostrar que cada serie absolutamente convergente es convergente si [math] X [/ math] es un espacio normado dimensional finito

Answer 1

Tu pregunta no está clara para mí. ¿Qué quieres decir con una serie absolutamente convergente en un espacio n-dimensional? Puedo entender lo que significa cuando dices que una serie de números reales es absolutamente convergente, pero ¿qué significa decir que una serie de vectores n-dimensionales es absolutamente convergente? En otras palabras, ¿cómo define el valor absoluto de un vector n-dimensional? ¿Lo define como el valor absoluto de cada componente del vector o lo define como la norma del vector?

Si lo define como el primero, es bastante fácil ver por qué una serie absolutamente convergente en M ^ n también es convergente, donde M es el campo en el que se define el espacio vectorial (considere la entrada de cada componente como una serie en M y obtienes lo que quieres. Para concretar, piensa en M como R). Por otro lado, si define el valor absoluto de un vector como su norma, la serie es absolutamente convergente significa que las normas convergen a cero más rápido que 1 / n. Eso implica que el valor absoluto de cada componente de la secuencia del vector converge a cero más rápido que 1 / n. Esto implica que en cada componente, la serie converge y obtienes lo que quieres.

No creo que necesite hacer suposiciones sobre el espacio completo, a menos que defina el valor absoluto de un vector de alguna otra manera. Por favor, corríjame si estoy equivocado.

Answer 2

¡Espacios normativos dimensionales finitos! Ah, hacen las cosas tan simples … use el hecho de que para cualquier conjunto de vectores linealmente independientes [matemática] x_1, x_2,…, x_n [/ matemática] podemos tener una constante [matemática] c> 0 [/ matemática] tal que [matemáticas] \ vert \ vert \ alpha_1 x_1 + \ alpha_2 x_2 +… + \ alpha_n x_n \ vert \ vert \ geq c \ vert \ alpha_1 \ vert +… + \ vert \ alpha_n \ vert [/ matemáticas] donde el [ math] \ alpha_i [/ ​​math] son ​​escalares. Esto debería darte un cálculo sencillo.

Answer 3

Eso es claramente un ejercicio. Solo pistas:

• Considere las sumas parciales
• Probar que forman una secuencia de Cauchy
• Concluya con la propiedad de que forman un espacio métrico completo.

Answer 4

El espacio normado debe estar completo , es decir, un espacio de Banach, para que esto sea cierto. De lo contrario, se puede producir un contraejemplo que ‘converge’ en el incompleto.