Cómo demostrar que la ecuación de Diofantina [matemática] x ^ 4-2y ^ 2 = 1 [/ matemática] solo tiene las soluciones triviales, a saber (1,0) y (-1,0)

Answer 1

El documento es bastante corto por la generalidad que proporciona. Para esta ecuación, un enfoque ad-hoc funciona:

Reescribe como [matemáticas] x ^ 4 – 1 = (x – 1) (x + 1) (x ^ 2 + 1) = 2y ^ 2 [/ matemáticas]. Como [math] x ^ 4 = 2y ^ 2 + 1 [/ math], entonces [math] x [/ math] es impar. Escribe [matemáticas] x = 2n + 1 [/ matemáticas].

Esto da [matemáticas] 2n (2n + 2) (4n ^ 2 + 4n + 2) = 2y ^ 2 [/ matemáticas], dando [matemáticas] 4n (n + 1) (2n ^ 2 + 2n + 1) = y ^ 2 [/ matemáticas].

Es suficiente con mostrar [matemáticas] n (n + 1) (2n ^ 2 + 2n + 1) [/ matemáticas] es cuadrado. Si es cero, obtenemos [matemática] n = 0, -1 [/ matemática] que conduce a [matemática] (x, y) = (1,0), (-1,0) [/ matemática] respectivamente.

Consideramos el caso distinto de cero. Reescribe nuestra expresión como [math] n (n + 1) (2n (n + 1) + 1) [/ math]. Por lo tanto, [math] n (n + 1) [/ math] es coprimo con el factor restante, por lo que debe ser un cuadrado no cero (consecuencia de la factorización prima). Análogamente, [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] deben ser cuadrados distintos de cero, una contradicción.

Answer 2

X ^ 4 = 2y ^ 2 + 1
Por lo tanto, x es impar e y es par
Sustituir x = 2n + 1
Esto da y ^ 2 = 8e (e + 1) donde e = n (n + 1)
Dividir entre 16 y cambiar sustituciones
y = 4z 2d = e
z ^ 2 = d (2d + 1)
Podemos probar la proposición si podemos demostrar que la ecuación anterior solo tiene una solución con z = 0.
Como lhs es cuadrado, d es impar o cero
cierto, pero debemos mantener la restricción de que d es triangular, vea mi comentario a continuación