Cómo encontrar el valor de m de tal manera que las raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 4 – (3m + 2) x ^ 2 + m ^ 2 = 0 [/ matemáticas] estén en progresión aritmética

Answer 1

Como esta ecuación es de grado 4. Tiene 4 raíces. Supongamos que las raíces están en la progresión aritmética.

Deje que las 4 raíces sean:
a-3d
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a + d
a + 3d.
(Estas raíces están en AP)

Suma de raíces = (- b / a) = 0/1 = 0 El coeficiente de x ^ 3 es cero.
a-3d + a-d + a + d + a + 3d = 0
a = 0

Suma de raíces tomadas de dos en dos = c / a = – (3m + 2) / 1
(-3d) * (- d) + (- 3d) * (d) + (- 3d) * (3d) + (- d) * (d) + (- d) * (3d) + d * 3d = – (3m + 2)

10d ^ 2 = 3m + 2 ………………… .eq1

Producto de raíces tomadas todas a la vez = e / a = m ^ 2
(-3d) * (- d) * (d) * (3d) = m ^ 2
9d ^ 4 = m ^ 2

3d ^ 2 = + mo -m
d ^ 2 = m / 3 o -m / 3

Valor de putiing de d ^ 2 en eq1

10 * (m / 3) = 3 m + 2
10m = 9m + 6
m = 6

10 * (- m / 3) = 3 m + 2
-10m = 9m + 6
m = (- 6) / 19

Answer 2

Realmente no me gusta el método sencillo descrito en las otras respuestas. Es aritméticamente desordenado, involucra raíces cuadradas anidadas, a pesar de que se simplifican rápidamente nuevamente. El método descrito aquí es aritméticamente más simple, dejando menos espacio para errores.

Al ver la ecuación como cuadrática en [matemática] x ^ 2 [/ matemática], la suma y el producto de las soluciones son [matemática] S = 3m + 2 [/ matemática] y [matemática] P = m ^ 2 [/ matemática] , respectivamente. * De la ecuación para el producto muestra que las raíces son de la forma [matemáticas] x ^ 2 \ en \ {am, m / a \} [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] a [/ matemáticas] . Por lo tanto, las soluciones a la ecuación cuadrática original son de la forma [matemáticas] x \ in \ {- \ sqrt {am}, – \ sqrt {m / a}, \ sqrt {m / a}, \ sqrt {am} \}[/matemáticas]. Ya los he escrito en orden ordenado. ** Si estas expresiones van a formar una progresión aritmética, la diferencia será [matemática] 2 \ sqrt {m / a} [/ matemática] y así tendremos
[matemáticas] \ sqrt {am} = \ sqrt {m / a} + 2 \ sqrt {m / a} [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow a = \ pm 3 [/ math]
Por lo tanto, podemos agregar la raíz original [math] am [/ math] a la ecuación cuadrática.
[matemática] (3m) ^ 2- (3m + 2) (3m) + m ^ 2 = 0 [/ matemática] [matemática] \ Rightarrow m \ in \ {- 6/19, 0 \} [/ matemática]
[matemática] (- 3m) ^ 2- (3m + 2) (- 3m) + m ^ 2 = 0 [/ matemática] [matemática] \ Rightarrow m \ in \ {0, 6 \} [/ matemática]
Por supuesto, [matemáticas] m = 0 [/ matemáticas] no es una solución real. ***

Los resultados son [matemática] m = 6 [/ matemática] con raíces [matemática] (- 3 \ sqrt {2}, – \ sqrt {2}, \ sqrt {2}, 3 \ sqrt {2}) [/ matemática ] y [matemáticas] m = -6 / 19 [/ matemáticas] con raíces [matemáticas] (- 3 \ sqrt {2/19}, – \ sqrt {2/19}, \ sqrt {2/19}, 3 \ sqrt {2/19}) [/ math].

* El hecho de que la suma y el producto de una ecuación cuadrática [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] igual [matemática] S = -b / a [/ matemática] y [matemática] P = c / a [/ math] a menudo es útil y perspicaz en preguntas como esta, que se relacionan con las raíces de una ecuación, pero en realidad no necesita conocer las raíces. Es útil tenerlo en cuenta.
** Suponiendo que [math] a \ ge 1 [/ math], sin pérdida de generalidad debido a la simetría en las expresiones.
*** Nos abrimos a soluciones falsas cuando no incluimos la condición de que [matemática] S = 3m + 2 [/ matemática] al principio.

Answer 3

Hola abhishek

Aquí hay una pista para ayudarlo a comenzar a resolver el problema (corregido) que plantea Polya.

La ecuación es un cuarto, pero se puede expresar como una ecuación cuadrática en la variable x al cuadrado.

Answer 4

El promedio de las raíces es 0. Entonces, sin temor a perder la generalidad, podemos llamar a las raíces [matemáticas] -3a, -a, a [/ matemáticas] y [matemáticas] 3a. [/ Matemáticas]

Ahora escribiré los hechos fundamentales que recuerdo de mi juventud. Su producto es [matemática] m ^ 2. [/ Matemática] Entonces [matemática] 9a ^ 4 = m ^ 2. [/ Matemática] La suma del producto de las raíces tomadas de dos en dos es [matemática] 3m + 2 .[/matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] 3a ^ 2-3a ^ 2-9a ^ 2-a ^ 2-3a ^ 2 + 3a ^ 2 = 3m + 2. [/ matemáticas]

Simplificando, [matemáticas] -10a ^ 2 = 3m + 2. [/matemáticas]

Ajá. El último puede leer [matemáticas] a ^ 2 = \ dfrac {3m + 2} {- 10} [/ matemáticas] y así [matemáticas] a ^ 4 = \ dfrac {9m ^ 2 + 12m + 4} {100}. [/matemáticas]

Pero desde arriba, [matemáticas] a ^ 4 = \ dfrac {m ^ 2} {9}. [/ Matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {9m ^ 2 + 12m + 4} {100} = \ dfrac {m ^ 2} {9}. [/ Matemáticas]

Multiplicación cruzada, [matemáticas] 81m ^ 2 + 108m + 36 = 100m ^ 2. [/ Matemáticas]

Recolección de términos, [matemáticas] 19m ^ 2-108m-36 = 0. [/ Matemáticas]

Esto factores Tu terminas.