¿Cómo es [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] real [matemáticas] (i ^ 2 = -1) [/ matemáticas]?

Answer 1

Su prueba es así:

[matemáticas] \ qquad \ quad [/ matemáticas] [matemáticas] i [/ matemáticas] [matemáticas] = e ^ {i \ pi / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica i ^ i = e ^ {i \ cdot i \ pi / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica i ^ i = e ^ {- \ pi / 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es real.

Puede ser impactante para usted si lo está viendo por primera vez. Esto sucede porque no te das cuenta bien de que también has encontrado cosas así antes. El salto de [math] \ mathbb N [/ math] a [math] \ mathbb R [/ math] es tan extático como el salto de [math] \ mathbb R [/ math] a [math] \ mathbb C. [ / matemáticas] ¿Qué pasa si te doy un ejemplo similar de la primera?

Aquí va,

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {log_2 9} = 3 [/ matemáticas] y, por lo tanto, es un número natural.

Cuando dos números reales pueden combinarse en forma de exponente para dar un número natural, no debería ser difícil digerir el hecho de que los números complejos también pueden mostrar milagros y volverse reales. Solo recuerda que los únicos números que existen en el mundo son los números de conteo o [math] \ mathbb N [/ math] El resto son inventos de la humanidad para que las cosas funcionen.

¡Que haya paz!

Answer 2

Espera un segundo. [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es real?

(Comprobaciones): [matemáticas] i ^ i = (e ^ {i \ pi / 2}) ^ i = e ^ {- \ pi / 2} [/ matemáticas].

Oh, es real Guau.

Pero espera. Cometí un error’.

[matemáticas] i ^ i = (e ^ {i \ pi (2n + 1/2)}) ^ i = e ^ {- \ pi (2n + 1/2)}, \ quad n \ in \ mathbb {Z }.[/matemáticas]

Whoa, sigue siendo real para cualquier [matemática] n [/ matemática]. Hmm

Solo estoy jugando por aquí.

En realidad, ahora que lo pienso, [math] (e ^ {i \ theta}) ^ i [/ math] también es siempre real, para cualquier [math] \ theta [/ math] real, ya que es igual a [matemáticas] e ^ {- \ theta} [/ matemáticas]. Entonces, cualquier número complejo de magnitud [matemática] 1 [/ matemática] se vuelve real después de ser elevado al poder de [matemática] i [/ matemática]. No solo [matemáticas] i [/ matemáticas] en sí.

Answer 3

mira mi estúpido resultado sobre [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas]

Solo porque no sabemos el resultado de [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas]

suponer

[matemáticas] (i ^ i) = x [/ matemáticas]

Cuadrado dos veces ambos lados

[matemáticas] (i ^ i) ^ 4 = x ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ (4i) = x ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (i ^ 4) ^ i = x ^ 4 [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] [i ^ 4 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ (i) = x ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = x ^ 4 [/ matemáticas]

por lo tanto nuestro resultado es igual a

[matemáticas] x ^ 4 = 1 [/ matemáticas]

y podemos ver eso

[matemáticas] x = 1, -1, i, -i [/ matemáticas]

Y por lo tanto, [matemática] x = [/ matemática] [matemática] i ^ i [/ matemática] puede ser real o imaginaria

Answer 4

Es bastante simple demostrar si está familiarizado con los números complejos.

Cada número complejo z puede expresarse como z = | z | * e ^ (i * theta) = cos (theta) + i * sin (theta) donde | z | es su magnitud y theta es el argumento (ángulo formado por la línea que une el origen y el punto de número complejo con el eje real)

Tenemos | i | = 1 y argumento de i = (pi / 2)

Por lo tanto, i = e ^ (i * pi / 2)

Ahora solo toma el poder con ambos lados

Entonces, i ^ i = e ^ [(i * (pi / 2) * i] (regla simple de índices)

Y así i ^ i = e ^ (- pi / 2) = 0.2078795 … (como i ^ 2 = -1)

Por lo tanto, es real! 🙂

Answer 5

Abordemos esto de manera más general. ¿Qué sucede cuando eleva un número complejo a la potencia de [math] i [/ math]?

[matemáticas] (re ^ {i \ theta}) ^ i = r ^ ie ^ {- \ theta} [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] r ^ i = e ^ {i \ ln r} [/ matemáticas]. Entonces, elevar un número complejo a la potencia de [math] i [/ math] le da un número complejo con una magnitud de [math] \ exp (- \ theta) [/ math] y un argumento de [math] \ ln ( r) [/ matemáticas]. Es decir, la magnitud del resultado es una función del argumento del número original, y el argumento del resultado es una función de la magnitud del número original. En cierto sentido, la magnitud y la discusión se intercambian.

Debido a que el nuevo argumento es el logaritmo natural de la magnitud original, una magnitud de [matemática] 1 [/ matemática] se traduce en un argumento de [matemática] 0 [/ matemática], es decir, un número real. Por supuesto, también lo hace una magnitud de [matemáticas] e ^ π [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {2π} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {3π} [/ matemáticas], y así sucesivamente. Por el contrario, un argumento de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] se traduce en una magnitud de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]; pero también se traduce en una magnitud de [matemáticas] e ^ {2π} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- 2π} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {4π} [/ matemáticas], [matemáticas ] e ^ {- 4π} [/ math], y así sucesivamente.

Pero volviendo a la pregunta original: [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es real porque la magnitud de [matemáticas] i [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas], y elevar un número con una magnitud de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a la potencia de [matemáticas] i [/ matemáticas] siempre te da un número real.

Answer 6

cos (i) también es real. Simplemente use el teorema de Euler para demostrar eso. Me sorprendió cuando lo encontré por primera vez.