¿Cuál es la conexión entre el último teorema de Fermat y las curvas elípticas? Educación te da un futuro mejor

Por lo que recuerdo al leer el libro de Simon Singh sobre el último teorema de Fermat (que también tiene el mismo nombre), el teorema

[matemáticas] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ matemáticas]

donde no existen soluciones posibles para n mayor que 2 es un ejemplo de una ecuación de diofantina y esta ecuación en particular podría resolverse utilizando una curva elíptica. Ahora bien, si realmente no hubiera solución para el último teorema de Fermat (lo que haría que el último teorema de Fermat sea verdadero), entonces esta curva elíptica no podría ni debería existir.

Ahora esta parte proviene de media hora de curiosidad e investigación (todo lo que está escrito a continuación se puede encontrar en el libro):

Tenga en cuenta que de ahora en adelante llamaré el último teorema de Fermat como FTL

De acuerdo con la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil (también conocida como Teorema de modularidad ), todas las curvas elípticas (o al menos curvas elípticas semiestables) son modulares, es decir, pueden asociarse con una forma modular (más concisamente, la curva elíptica puede ser parametrizado por una curva modular).

Un matemático llamado Yves Hellegouarch luego señaló que se podría construir una curva elíptica usando las soluciones para FTL (es decir, usando los valores asignados para ayb).

[matemáticas] y ^ 2 = x (xa ^ n) (x + b ^ n) [/ matemáticas]

En consecuencia, esta curva elíptica se conoce como curva de Frey . El matemático llamado Gerhard Frey (para el cual se nombró la curva de Frey) sugirió que si la curva de Frey existiera, tendría propiedades únicas que la harían no modular.

Por lo tanto, ahora se puede probar (o refutar) demostrando que el teorema de Modularidad es válido, lo que demostrará que la Curva de Frey no existe y, por lo tanto, no habría soluciones para a, b, c para exponentes mayores que 2; o más bien, si realmente hubiera una solución para FTL y que la Curva de Frey se construyera utilizando la solución para FTL (como se muestra en la ecuación anterior), el teorema de Modularidad no sería cierto. Sin embargo, tenga en cuenta que, dado que la curva de Frey se clasifica como una curva elíptica semiestable, el Teorema modular solo puede probarse para que las curvas elípticas semiestables prueben FTL o viceversa.

Esto debería ser suficiente para responder a su pregunta, pero aún así escribiría el resumen sobre cómo se resolvió FTL si provocara su curiosidad.

Gerhard Frey no pudo proporcionar una prueba rigurosa de la Curva de Frey y el Teorema de la modularidad (es decir, que la Curva de Frey no es modular (también llamada conjetura del épsilon )), solo fue en una fecha posterior que Ken Ribet probó el épsilon conjetura (ahora conocida como el teorema de Ribet ).

Enfoque de Andrew Wiles

Wiles trató de hacer coincidir las curvas elípticas con sus formas modulares, y aunque podría haber una cantidad extremadamente numerosa de coincidencias, observó que las representaciones de Galois de estas curvas podrían ser un isomorfismo en anillo (recuerdo en el libro que Simon Singh usaba un reloj como analogía, contar hasta 100 solo le daría el número 4, ya que 100 dividido entre 12 es 9, el resto 4, por lo tanto, rotaría las 24 horas del día antes de contar 4 pasos), lo que permitiría a Wiles categorizar el curvas elípticas en grupos.

Wiles luego se dio cuenta de que la correspondencia (mapeo) entre las representaciones de Galois de las curvas elípticas y sus formas modulares, es decir

[matemáticas] R_n \ a T_n [/ matemáticas]

solo sería un isomorfismo si los grupos abelianos son infinitos y tienen la misma cardinalidad (la cardinalidad es el número de elementos en un conjunto). Por lo tanto, el objetivo final de Andrew Wiles era demostrar que el mapeo de R a T es realmente un isomorfismo y que R = T.

En última instancia, unos años de arduo trabajo y algunos cambios de enfoque, Wiles demostró que el Teorema de la Modularidad es válido para curvas elípticas semiestables que refutan que existe la curva de Frey y que no puede haber valores posibles para a, byc en donde [ matemática] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ matemática] donde n es mayor que 2 se mantendría, lo que demuestra el último teorema de Fermat.

* NOTAS *

Hice un resumen extremadamente pequeño para la prueba de Wiles, en realidad Wiles realizó numerosas revisiones a su enfoque, inicialmente comenzando con la teoría de Galois, pasando a extender la teoría horizontal de Iwasawa, luego usando un sistema Euler recientemente desarrollado por Kolyvagin y Flach, luego, finalmente, usando una mezcla de la teoría de Iwasawa y el sistema de Euler.
Wiles se aisló durante 7 años para trabajar en el teorema, usando solo conferencias universitarias para verificar errores en su razonamiento matemático ya que su enfoque es nuevo para Wiles y el campo de las matemáticas en su conjunto (recuerdo en el libro que Andrew Wiles no No quería que todos supieran en qué estaba trabajando, pero aún necesitaba personas (o en este caso su colega) para verificar su solución, por lo que estableció una serie de conferencias sobre el tema. Después de algunas reuniones de clase, su colega Nick Katz fue el único que quedaba asistiendo a la clase debido a esta dureza y abstracción del tema (Nick Katz es un matemático que trabaja en el campo de la geometría algebraica, que era lo que utilizaba la prueba de Wiles)).
Wiles lanzó al mundo su prueba del último teorema de Fermat a través de una serie de conferencias impartidas del 21 al 23 de junio de 1993 en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas. Varios matemáticos detectaron un error en la prueba de Andrew Wiles, incluido Katz, mientras revisaba el trabajo de Wiles, quien luego alertó a Andrew Wiles sobre el error el 23 de agosto de 1993. En este momento, la prueba de Wiles para FTL implica el uso del enfoque Kolyvagin-Flach al resolver los mapeos de las curvas elípticas. Pasó un año antes de que Wiles pudiera resolver el error utilizando la Teoría Iwasawa (abandonó la Teoría Iwasawa en favor del enfoque Kolyvagin-Flach) y una mezcla del enfoque Kolyvagin-Flach.
Andrew Wiles ganó 1,000,000 de libras (en dinero de 1997) por probar FTL, este premio se llamaba Wolfskehl y solo se le daría a la primera persona en probar FTL.
La prueba completa del teorema de la modularidad (que luego se llamó la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil antes de que se probara) finalmente se realizó durante el cambio de milenio. Los matemáticos utilizaron el enfoque de Wiles para resolver los casos finales de curvas elípticas donde el Teorema de la modularidad aún no se sabe si se mantendrá o no.
No soy matemático, por lo tanto, no puedo dar un resumen o definición satisfactoria de los numerosos teoremas matemáticos, conjeturas y métodos enumerados aquí, por lo que invito a los matemáticos actuales a trabajar en mi intento de proporcionar una relación concisa pero gratificante entre la curva elíptica y el Último de Fermat Teorema.
Personalmente, creo que Fermat no tiene una prueba rigurosa de su teorema, ya que la primera prueba rigurosa que se utiliza utiliza muchas matemáticas modernas que seguirían siendo una obra de ficción en los días de Fermat (un ejemplo sería la teoría de grupos y la teoría de galois, Evariste Galoise nació 200 años después de Pierre de Fermat).