En términos generales, los teóricos de los números algebraicos y analíticos quieren respuestas al mismo tipo de preguntas (es decir, preguntas sobre números primos, enteros, racionales y enteros algebraicos), pero utilizan diferentes herramientas para obtener respuestas. Los teóricos de números algebraicos hacen uso de herramientas algebraicas (principalmente, hay mucha contaminación cruzada). Si ha hecho alguna teoría grupal o álgebra abstracta, es posible que haya saboreado cómo se siente. Los teóricos de los números analíticos utilizan herramientas analíticas: el análisis es básicamente un cálculo sofisticado.
Para ayudar a visualizar esta distinción, déjame darte dos pruebas del hecho de que hay infinitos números primos.
Prueba algebraica : suponga lo contrario, es decir, hay una lista finita de todos los números primos, [matemáticas] p_1, p_2, \ ldots p_n [/ matemáticas]. Ahora, tome su producto y agregue uno: [math] p_1 p_2 \ ldots p_n + 1 [/ math]. Es fácil ver que este nuevo número no es divisible por ninguno de [math] p_1, \ ldots p_n [/ math], lo que significa que es divisible por algún primo que no está en nuestra lista. Esto es una contradicción, por lo tanto, hay infinitos números primos.
Prueba analítica : suponga lo contrario, entonces el producto [math] \ prod_p \ left (1 + \ frac {1} {p} \ right) ^ {- 1} [/ math] sobre todos los números primos [math] p [/ matemáticas] converge. Ahora, usando una expansión de Taylor, tenemos [matemáticas] \ left (1 + \ frac {1} {p} \ right) ^ {- 1} = 1 + p ^ {- 1} + p ^ {- 2} + p ^ {- 3} + \ ldots [/ math].
- ¿Por qué es más fuerte la forma fuerte de inducción matemática?
- ¿Por qué [math] l! (Kl)! = K! [/ Math]?
- ¿Cuál es la conexión entre el último teorema de Fermat y las curvas elípticas?
- ¿Cuáles son algunas constantes matemáticas interesantes, aparte de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] e [/ matemáticas] y [matemáticas] i [/ matemáticas]?
- ¿Cómo le explicaría a un niño de siete años el papel de ‘cero’ en matemáticas?
Sin embargo, cualquier entero positivo [math] n [/ math] puede escribirse como un producto de primos [math] p [/ math] exactamente de una manera, por lo que esencialmente podemos usar FOIL para mostrar [math] \ prod_p (1 + p ^ {- 1} + p ^ {- 2} + \ ldots) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n} [/ math] (estrictamente hablando, estoy evitando algunos necesarios pasos técnicos para asegurarse de que la igualdad realmente se mantenga en el límite). Sin embargo, esto presenta un problema, porque el lado derecho es la serie armónica, que es bien conocida por divergir. Por lo tanto, tenemos una contradicción y, por lo tanto, hay infinitos números primos.
Tenga en cuenta que si bien la prueba analítica es un poco más difícil, nos da mucha más información que la prueba algebraica, en particular, nos dice que los números primos no pueden ser demasiado escasos en los enteros (si hubiera relativamente pocos números primos entre los enteros, entonces la suma de los recíprocos convergería).