¿Cuáles son las diferencias fundamentales entre la geometría analítica y la geometría diferencial?

Answer 1

Descartes introdujo la geometría analítica o la geometría coordinada. Es una forma de geometría y la rama de las matemáticas donde se representan puntos geométricos, líneas, curvas, usando anotaciones algebraicas en términos de su posición en un sistema de coordenadas.
Las curvas se representan mediante una ecuación para un conjunto de puntos, y la geometría de las figuras se puede analizar mediante métodos algebraicos.

Por ejemplo, a cada punto P del plano se adjunta un par de números ( x , y ). El punto O de una línea dirigida h con coordenadas (0,0) es el origen del sistema de coordenadas. Un sistema de coordenadas en h es cartesiano si para cada punto P de h, su coordenada es la distancia dirigida [matemáticas] \ overline {\ text {OP}} [/ matemáticas].
Una ecuación lineal se expresa mediante la ecuación lineal ax + by + d = 0 en el plano bidimensional, y un plano se representa mediante la ecuación lineal ax + by + cz + d = 0 en un espacio tridimensional.

La geometría diferencial usa y aplica métodos de cálculo diferencial e integral, álgebra lineal, topología, análisis de tensor, para el estudio de curvas y superficies. Estudia propiedades geométricas como longitud, curvatura, torsión, …

Para más información vea mi respuesta La respuesta de Emad Noujeim a ¿Qué es la geometría diferencial?

Answer 2

La geometría analítica se aplica a los espacios euclidianos: son espacios planos con una métrica.

La geometría de Riemann se aplica a espacios planos o curvos con una métrica; Es más general.

La geometría diferencial se aplica a espacios planos o curvos, con o sin métrica; Es aún más general.

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Consideremos un espacio plano unidimensional: una línea. La geometría analítica se basa en la distancia entre dos puntos, [matemática] x_1 [/ matemática] y [matemática] x_2 [/ matemática] dada por: [matemática] s = | x_1-x_2 | [/ matemática]. Esta función se generaliza a dimensiones superiores, utilizando el teorema de Pitágoras. Esto cubre todos los espacios planos.

Supongamos que queremos generalizar la geometría a espacios curvos. Por ejemplo, considere un círculo o radio [matemática] r [/ matemática] – un espacio curvo unidimensional; dos puntos, [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2)) [/ matemática] están separados por una distancia [matemática] s = r cos ^ {- 1} (\ frac { x_1x_2 + y_1y_2} {r ^ 2}) [/ math]. No será difícil generalizar esto a “círculos” de dimensiones superiores.

Sin embargo, aquí hay un problema, ¿qué pasa si queremos considerar una elipse (con los ejes mayor y menor [matemática] a, b [/ matemática])? La distancia entre dos puntos en una elipse, [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2)) [/ matemática] está dada por

[matemáticas]
s = \ int_ {x_1} ^ {x_2} \ sqrt {1+ \ frac {b ^ 2x ^ 2} {a ^ 2 (a ^ 2-x ^ 2)}}
[/matemáticas]
Esto no tiene forma cerrada. Es una integral elíptica. Por lo tanto, es más conveniente trabajar con el integrando [math] ds [/ math], en general. Si desarrollamos una teoría geométrica basada en el diferencial de la métrica [matemática] ds [/ matemática], lo que obtenemos es la geometría de Riemann. En la práctica, [math] ds ^ 2 [/ math] se usa para simplificarlo.

Ahora, esta teoría incluye la mayoría de los espacios curvos. La relatividad general se puede entender usando esta teoría. Sin embargo, las matemáticas siempre buscan generalizar. Esta vez, queremos deshacernos de la métrica por completo.

Deshacerse de la métrica es difícil. Necesita que formulemos la noción de cercanía , sin usar una distancia o cualquier número para el caso. Esto se hace en topología.