¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los acordes de una elipse que tienen un ángulo recto en el centro de la elipse?

Answer 1

Suponga una elipse con longitudes de ejes semi-mayor y semi-menor [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] respectivamente. Considere un sistema de coordenadas con su origen [matemática] O [/ matemática] en el centro de la elipse y [matemática] eje X [/ matemática] a lo largo de su eje semi-mayor. La ecuación paramétrica para un punto [matemático] P (x, y) [/ matemático] en la elipse sería

[matemáticas] x = a \; cos \, \ theta \; \; y = b \; sin \, \ theta [/ math]

Existe un punto [matemático] P ‘[/ matemático] en la elipse tal que el ángulo [matemático] POP’ [/ matemático] es un ángulo recto. Eso implica

[matemáticas] Pendiente \; de \; línea \; OP ‘\, = \, \ frac {-1} {(Pendiente \; de \; línea \; OP)} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {-1} {\ frac {b \; sin \, \ theta} {a \; cos \, \ theta}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {-a \; cos \, \ theta} {b \; sin \, \ theta} [/ math]

Hay dos puntos que calificarían como P ‘de los cuales se elige uno a saber

[matemáticas] P ‘(b \; sin \, \ theta, -a \; cos \, \ theta) [/ matemáticas]

Hay que tener en cuenta que la línea PP ‘es un acorde de la elipse que subtiende un ángulo recto en el centro. Llamemos al punto medio de PP ‘M cuyas coordenadas serían

[matemáticas] M (\ frac {b \; sin \, \ theta + a \; cos \, \ theta} {2}, \ frac {b \; sin \, \ theta-a \; cos \, \ theta } {2}) [/ matemáticas]

Te locus de M sería

[matemáticas] \ frac {(x + y) ^ 2} {b ^ 2} + \ frac {(xy) ^ 2} {a ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

La ecuación anterior representa una elipse. Se ha mostrado una muestra con a = 3 yb = 2

Answer 2

primero elige una elipse estándar cuyo centro está en el origen y los ejes mayor y menor se alinean a lo largo de los ejes x e y. puede enmarcar la ecuación de cualquier acorde arbitrario de elipse en términos de su punto medio, digamos (h, k) de acuerdo con la fórmula T = S_1 . Ahora homogeneice esta ecuación con la ecuación de elipse que representa un par de líneas rectas que emanan del origen que interceptan en la elipse en los puntos finales del acorde dado. como el par de líneas subtiende ángulo recto en el origen, de modo coeficiente de x ^ 2 + coeficiente de y ^ 2 = 0 . La ecuación resultante en términos de h, k representa el locus requerido.