¿Cómo demostramos que una esfera maximiza el volumen encerrado entre todas las superficies cerradas simples de un área de superficie dada?

Answer 1

Durante la mayor parte de mi carrera, he creído que una esfera es la forma que minimiza el área de superficie para un volumen dado. Hasta que me enteré del sólido Steinmetz.

La siguiente fue mi respuesta a una pregunta similar anterior:

La respuesta del Sr. Kovacs anteriormente, afirma que la esfera tiene la relación superficie / volumen más baja, que es:

4.pi.r ^ 2 /(4/3.pi.r^3)… (1)

por simplicidad, dejemos que el radio r = 1. Esto no afecta la validez del cálculo. Entonces la expresión en (1) se reduce a:

3

El Steinmetz Solid (SS), que está formado por la intersección adecuada de dos cilindros de radio r, en ángulo recto con sus ejes cruzados. Por intersección adecuada se entiende que solo las partes de los dos cilindros, que coinciden, se cuentan como parte de la SS. El SS tiene un área de superficie de 4.pi.r ^ 2 (curiosamente lo mismo que una esfera) y un volumen de:

4r ^ 3 (pi / 2 – 1/3)

Como antes, haga r = 1 y forme el área de superficie / volumen de la fracción, como sigue:

4.pi.r ^ 2 / [4r ^ 3 (pi / 2 – 1/3)] = pi / (pi / 2 – 1/3) = 2.538736649

Es decir, la relación de área de superficie a volumen en el SS, es menor que la de una esfera.

¿Algún comentario? Creo que es un resultado notable.

Answer 2

Esto es complementario a minimizar el área de superficie para un volumen dado que estaba en el proceso de responder cuando se fusionaron las preguntas. No es necesario hacer ambas preguntas a menos que desee saber por qué son complementarias. Entonces hagamos eso.

Supongamos que tiene dos superficies cerradas simples que encierran el mismo volumen, una es una esfera. Entonces la esfera tiene el área de superficie más pequeña. Ahora escale ambos por el factor de escala requerido para hacer que las dos áreas de superficie tengan el valor dado. La esfera tiene que ampliarse más, por lo que encierra un volumen mayor que la otra superficie.

Lo contrario es igualmente fácil.

Ahora para responder por qué la esfera es óptima para ambas preguntas.

Es común usar cálculos de variaciones, pero es más fácil si la superficie es lisa (lo que descarta el sólido Steinmetz) o al menos liso por partes (que incluye el sólido steinmetz). Hay un método inteligente para el problema equivalente en dos dimensiones que utiliza la serie de Fourier y el teorema de Parseval. Esto no requiere suavidad, pero no estoy seguro de si se generaliza a tres dimensiones.

Pero usaré un enfoque intuitivo.

Primero, tome cualquier avión a través del centroide. Si un lado tiene mayor área de superficie, reemplácelo por un reflejo de la otra mitad. Esto implica que el sólido óptimo podría tener simetría de espejo sobre cualquier plano a través del centroide. Esto no ha demostrado que la simetría del espejo sea necesaria porque las dos mitades podrían haber tenido la misma área de superficie, pero luego podemos producir un sólido simétrico con la misma superficie.

El sólido tiene que ser convexo. Si no, encuentre una línea que se encuentre con el sólido en un punto de concavidad. Hay un plano perpendicular a esa línea que se encuentra con la superficie en una curva cerrada. Reemplace parte de la superficie por parte de ese plano. Simultáneamente aumentamos el volumen y disminuimos la superficie.

Hasta ahora tenemos las siguientes propiedades de un sólido óptimo: es convexo y hay un sólido simétrico con la misma propiedad óptima. Las tangentes a la superficie deben ser perpendiculares a los radios medidos desde el centroide. Si no refleja la superficie en un plano que contiene el radio producirá una superficie no convexa. (Esto no se aplica en puntos donde la superficie no es lisa).

Si el radio (medido desde el centroide) no es constante, hay al menos un par de puntos antipodales con radio máximo.

Esto no está completo. Todavía tenemos que demostrar que la esfera es óptima. Hasta ahora tenemos un sólido que comparte varias propiedades con una esfera. Pero eso no es suficiente.