¿Cuál es el área máxima de un rectángulo que se puede inscribir en una elipse x ^ 2 + 4 * y ^ 2 = 1?

Answer 1

Por simetría, el rectángulo con el área más grande será uno con sus lados paralelos a los ejes de la elipse. Considere cualquier punto [matemático] B (x_1, y_1) [/ matemático] en la elipse ubicada en el primer cuadrante.

Puede ver fácilmente que [matemática] A \ equiv (-x_1, y_1) [/ matemática], [matemática] D \ equiv (x_1, -y_1) [/ matemática] y [matemática] C \ equiv (-x_1, -y_1) [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] Área = 4x_1y_1 [/ matemáticas]

También tenemos la relación:

[matemáticas] x_1 ^ 2 + 4y_1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow x_1 ^ 2 = 1 – 4y_1 ^ 2 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow x_1 = \ sqrt {1 – 4y_1 ^ 2} [/ math]

Hemos tomado el valor positivo desde que elegimos este punto para estar en el primer cuadrante.

[matemáticas] Área = 4y_1 \ sqrt {1 – 4y_1 ^ 2} [/ matemáticas]

Los valores posibles de [math] y_1 [/ math] para los cuales hay un punto en la elipse son [math] [0, \ frac {1} {2}] [/ math] en el primer cuadrante. Vamos a diferenciar el área para encontrar su punto de máximos.

[matemáticas] \ frac {dA} {dy} = y \ frac {d} {dy} \ sqrt {1 – 4y ^ 2} + \ sqrt {1 – 4y ^ 2} \ frac {d} {dy} y [ /matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dA} {dy} = y \ frac {1} {2 \ sqrt {1 – 4y ^ 2}} (-8y) + \ sqrt {1 – 4y ^ 2} [/ math]

[matemática] \ frac {dA} {dy} = \ frac {-8y ^ 2 + 2 – 8y ^ 2} {2 \ sqrt {1 – 4y ^ 2}} [/ math]

[matemáticas] \ frac {dA} {dy} = \ frac {2 – 16y ^ 2} {\ sqrt {1-4y ^ 2}} [/ math]

Para maxima,

[matemáticas] \ frac {dA} {dy} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ frac {2 – 16y ^ 2} {\ sqrt {1 – 4y ^ 2}} = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow y = \ frac {1} {\ sqrt {8}} [/ math]

En correspondencia con esto,

[matemáticas] x = \ sqrt {1 – 4y ^ 2} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x = \ sqrt {1 – \ frac {1} {2}} [/ math]

[math] \ Rightarrow x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math]

Así,

[matemáticas] Área_ {máx} = 4 \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ frac {1} {\ sqrt {8}} [/ matemáticas]

[matemáticas] Área_ {máx} = 1 unidades cuadradas [/ matemáticas]

Answer 2

Hay otro enfoque. Considere (x, y) o ser el vértice superior del rectángulo que se ha inscrito.

Las coordenadas de una elipse en forma paramétrica se pueden representar por (a Cosw, b Sin w), donde w es la variable paramétrica, a, b representan la longitud del eje semi-mayor y semi-menor respectivamente.

Área = 4xy
Área (w = 4acos (w) .bSin (w).
Área (w = 2ab.2.cos (w) Sin (w).
Área = 2abSin (2w).

La respuesta anterior será máxima cuando Sin (2w) = 1.
Esto sucede cuando w = 45 grados.

Por lo tanto, el área máxima de un rectángulo que puede inscribirse en una elipse es de 2ab unidades cuadradas.

Aquí a = 1, b = 1/2.
Por lo tanto, area = 2.1.0.5 = 1sq.units en el caso dado.

Answer 3

No te daré la respuesta, pero te diré cómo hacerlo. Necesitarás graficar la elipse para comenzar. Vea, en estas preguntas de optimización, necesita crear una función a partir de la relación dada y usarla para un valor máximo o mínimo, en este caso, el área de un rectángulo A = lw. Dada la relación de esto como una elipse, se puede decir que la altura del rectángulo es 2y o 2 * sqrt ((1-x ^ 2) / 4) y la longitud es 2x. Por lo tanto, A = 2x * 2sqrt ((1-x ^ 2) / 4). Debe encontrar el valor máximo de esto entre x = 0 yx = 1 (porque en otros valores, incluido x = 0 o x = 1, la longitud o el ancho es cero; dibuje un diagrama para ayudarlo). Por lo tanto, usando su primera y segunda derivada encuentre el área máxima de esa función A para el dominio x: (0,1). Luego, simplemente inserte ese valor x en la función A para encontrar el área máxima de un rectángulo en la elipse. ¡Espero no haber sido demasiado confuso!