Cómo rotar una función una cierta cantidad de radianes alrededor del origen

Answer 1

El primer paso es que probablemente quieras parametrizar las ecuaciones, así que deja

[matemáticas] x = t [/ matemáticas]

y

[matemáticas] y = t ^ 3 [/ matemáticas].

Esto significa que puede escribir la función en los detalles de su pregunta de una manera “agradable” para el objetivo que desea alcanzar. Entonces la función es ahora

[matemáticas] f (t) = \ begin {bmatrix} t \\ t ^ 3 \ end {bmatrix} [/ math],

donde el primer componente del vector es su coordenada [math] x [/ math] y el segundo es el componente [math] y [/ math]. Puede poner todos los valores de [math] t \ in \ mathbb {R} [/ math] y los puntos que obtiene son exactamente los del gráfico original.

Otros han dado la matriz de rotación apropiada sobre el origen como

[matemáticas] R (\ theta) = \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix} [/ math]

que se multiplica a la izquierda de la función parametrizada:

[matemáticas] \ begin {align} R (\ theta) f (t) & = \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} t \\ t ^ 3 \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} t \ cos \ theta – t ^ 3 \ sin \ theta \\ t \ sin \ theta + t ^ 3 \ cos \ theta \ end {bmatrix}. \ end {align} [/ math]

Ahora para cualquier [matemática] \ theta [/ matemática] obtendrá la gráfica de la misma función que antes, pero rotada en sentido antihorario por [matemática] \ theta [/ matemática].

Answer 2

Gire el eje de coordenadas en la dirección contraria.
En realidad, este es un problema de álgebra lineal.

Lo siguiente es cómo obtener [matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] x = x1 \ cos (\ theta) + y1 \ cos (\ theta + \ pi / 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] y = x1 \ sin (\ theta) + y1 \ sin (\ theta + \ pi / 2) [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] y1 = g (x1) [/ matemáticas]

Esta foto puede ser útil.

Answer 3

Permítanme seguir el enfoque dado por el Sr. Rose pero usar un sistema de álgebra simbólico (sympy) para realizar los cálculos.

• Defino dos variables, t y theta .
• Defino un vector (llamado Matrix por sympy), f .
• Configuré theta al valor que me proporcionó.
• Creo una matriz, R , para definir la rotación.
• Muestro su valor. sympy calcula los valores de sus entradas dado el valor de theta .
• Multiplico f a la izquierda por R, y visualizo el resultado exacto.
• Finalmente pido los valores numéricos aproximados del resultado.

Esto significa que uno puede suministrar cualquier valor de t , y obtener las dos coordenadas del punto girado correspondiente a ese valor de t usando las dos fórmulas dadas en la matriz de resultados para x e y .

Answer 4

Cualquier rotación por ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] sobre el origen puede representarse mediante una matriz de rotación:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix} [/ math]

Lo que significa que envía coordenadas [matemáticas] (x, y) \ a (x ‘, y’) [/ matemáticas] donde

[matemáticas] x ‘= x \ cos \ theta-y \ sin \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta [/ matemáticas]