¿Qué trucos / teoremas de matemáticas hay para ayudarme a resolver problemas avanzados de la Olimpiada de Matemáticas (por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat)?

Answer 1

En general, trate de familiarizarse con tales problemas: en cada país se supone que existe un archivo de problemas de las rondas pasadas, tanto a nivel local como internacional (que generalmente es más difícil). Intenta trabajar en ellos y resolverlos, y en caso de que estés atascado, pídele a alguien una explicación o ayuda (como en este foro). Ese es el mejor consejo que puedo dar en este momento.

Si desea buscar estrategias de solución, dependen, por supuesto, mucho del tipo de problemas planteados, y nadie podrá darle una lista completa.

Como un inicio:

• familiarizarse con las desigualdades
• en geometría, tenga un buen conocimiento del estándar y también de los teoremas más complicados en geometría triangular, círculos, etc.
• En una situación particular, en la que se le pide que pruebe o refute la existencia de ciertos números (por ejemplo, enteros), siempre verifique los valores extremos (mínimo, máximo de un conjunto potencial de soluciones); generalmente tienen propiedades adicionales útiles.
• Nunca olvide las condiciones de contorno y los valores de límite (como 0), en la misma línea.
• obtener capacitación en el manejo de congruencias (mod n)
• manipulación de polinomios, fórmulas binomiales y esas cosas
• manejo de secuencias y series (finitas e infinitas)

Esa no es una lista completa, por supuesto.

Answer 2

Álgebra: es importante aprender y practicar cómo factorizar polinomios de manera inteligente. Por ejemplo: “Demuestre que el producto de cuatro números naturales consecutivos no puede ser el cuadrado de un número entero”.

Factoricemos inteligentemente:

[matemáticas] n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = \ left [n (n + 3) \ right] \ left [(n + 1) (n + 2) \ right] = ( …)[/matemáticas]

[matemáticas] \ left [n ^ {2} + 3n \ right] \ left [n ^ {2} + 3n + 2 \ right] = \ left [(n ^ {2} + 3n + 1) -1 \ right ] \ left [(n ^ {2} + 3n + 1) +1 \ right] = (…) [/ math]

[matemática] \ izquierda (n ^ {2} + 3n + 1 \ derecha) ^ {2} -1 = m ^ {2} -1 [/ matemática]

Es fácil demostrar que el predecesor de un cuadrado perfecto no puede ser un cuadrado perfecto también.

Algunas veces se requiere cierto conocimiento de ecuaciones funcionales: Ecuaciones funcionales

El teorema binominal es muy útil en algunos problemas de álgebra.

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Geometría: Tengo poca experiencia en esta área, pero le recomendaría que estudie todo lo que pueda sobre Geometría Euclidiana, cualquier teorema o relación métrica puede ser útil para resolver un problema más rápido. Por ejemplo: centros y líneas triangulares (incentro, ortocentro, circuncentro, centroide, …); cuadriláteros (paralelogramos, trapecios, cuadriláteros cíclicos, …); transformaciones geométricas; leyes sobre la circunferencia (Teorema de las intersecciones de secantes, ángulos inscritos, …); similitudes

Otros teoremas: Teorema de Menelao, Teorema de Ptolomeo, Teorema de Euclides, Teorema de Thale, Teorema de Stewart, entre otros.

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Combinatoria: Factoriales, doble conteo, biyecciones, coeficientes binominales, Principio de palomar, entre otros.

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Teoría de números: aritmética modular (reciprocidad cuadrática, teorema del resto de la quinasa); números primos (divisor, múltiplos, teorema fundamental de la aritmética, reglas de divisibilidad, …); máximo común divisor, mínimo común múltiplo y el algoritmo euclidiano extendido; ecuaciones de diofantina; entre otros.

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Pruebas: ¡la parte más importante!

Métodos de prueba comunes: prueba directa; prueba por agotamiento (fuerza bruta); reductio ad absurdum (contradicción); prueba por contraposición; inducción débil / fuerte; prueba por descenso infinito; entre otros.

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espero que esto te ayude. La práctica es tan importante como aprender nuevos teoremas.

Answer 3

El pequeño teorema de Fermat es fácil de probar una vez que conoces un poco de teoría de grupos.

Deje que [math] \ mathbb {Z} _p ^ \ times [/ math] sea el grupo de unidades mod [math] p [/ math]. Tenga en cuenta que el orden de este grupo es [matemática] p – 1 [/ matemática].
Tome cualquier [math] a \ in \ mathbb {Z} _p ^ \ times [/ math]. Entonces, dado que el orden de cualquier elemento de un grupo divide el orden del grupo, tenemos [matemáticas] a ^ {p-1} \ equiv 1 \ mod p [/ matemáticas], que es el pequeño teorema de Fermat.

Answer 4

Las fórmulas de Vieta

Newton Sums