¿Cuál es la diferencia entre la teoría de números y el análisis numérico?

Answer 1

La teoría de números explora las propiedades de los números naturales 1, 2, 3, etc. Es un antiguo campo de estudio: una tableta babilónica del 1800 aC contiene listas de “trillizos pitagóricos” que son soluciones enteras de [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas], como [matemáticas] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] 5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 13 ^ 2 [/ matemáticas]. Los griegos estudiaron explícitamente preguntas relacionadas con los números naturales sin ninguna preocupación aparente por las aplicaciones prácticas.

Aunque las preguntas centrales estudiadas en la teoría de números involucran números naturales (y los números enteros y racionales estrechamente relacionados), los métodos utilizados para investigar y resolver estos problemas se extienden mucho más allá de estos dominios. Casi toda la maquinaria de la matemática moderna se trajo para luchar en esas batallas, y ser un teórico de los números hoy en día requiere un profundo conocimiento de grandes cantidades de matemáticas: geometría, análisis, álgebra y numerosos subcampos especializados.

---

El análisis numérico es el estudio de métodos para resolver ecuaciones y optimizar funciones numéricamente, en lugar de simbólicamente: las aproximaciones son el objeto fundamental de estudio. Se encuentra, de alguna manera, diametralmente opuesto a la teoría de números como un campo de las matemáticas. Se aplica mientras que la teoría de números es, en esencia, abstracta; se trata de aproximaciones, mientras que la teoría de números busca soluciones precisas: se trata, por lo tanto, de números reales en lugar de números enteros. También tiene raíces antiguas, de hecho posiblemente incluso más antiguas: las personas necesitaban aproximar longitudes y volúmenes antes de darse el lujo de reflexionar sobre las propiedades abstractas de los números naturales. El análisis numérico moderno está íntimamente relacionado con las nociones de algoritmos y computación.

Answer 2

Oh wow. ¡Estos son realmente diferentes!

La teoría de números es el estudio de la estructura de los números naturales , es decir, los números de conteo. Le dice cosas como con qué frecuencia debe esperar encontrar un número primo y cómo dividir fácilmente números realmente enormes. La teoría de números se usa con mucha frecuencia en criptografía y algoritmos de encriptación. Si le da a Amazon o Paypal su número de tarjeta de crédito, lo más probable es que la teoría de números lo mantenga seguro.

El análisis numérico es el estudio de cómo se resuelven problemas matemáticos en una computadora. Por lo general, se refiere a problemas que involucran números reales , es decir, enteros, fracciones y números irracionales. La dificultad principal es que, dado que los números irracionales tienen expansiones decimales infinitamente largas, una computadora no puede almacenar un número verdaderamente irracional. Por lo tanto, desarrollamos formas de resolver aproximadamente los problemas matemáticos con la precisión suficiente para que los humanos no podamos decir que la solución es una aproximación. El análisis numérico se utiliza principalmente para demostrar que las simulaciones por computadora (por ejemplo, agua en una tubería o plasma en el sol) predicen correctamente la situación física. Tenga en cuenta que una simulación por computadora no necesariamente necesita simular el mundo real. Los gráficos y la física de los videojuegos también cuentan.

Answer 3

Grandes respuestas arriba. Por interés, aquí hay un punto de intersección: un documento sobre el uso de métodos de búsqueda de raíces para calcular inversos mod [math] p ^ n [/ math] (vea la página en doiserbia.nb.rs). Estoy seguro de que hay muchos otros.