La suma se puede escribir así:
[matemáticas] \ sum_ {x = 1} ^ {n} \ frac {\ lfloor \ frac {7} {9} \ cdot 10 ^ {\ lfloor 1 + \ frac {x} {2} \ rfloor} \ rfloor} {10 ^ {1 + (x \ barra diagonal inversa 2) (\ lfloor \ frac {x} {2} \ rfloor)}} [/ math]
Eso no es fácil de leer y usa una sintaxis rara, así que déjame explicarte.
La ecuación es fundamentalmente una fracción; un grupo de sietes dividido por un poder de diez.
[math] \ frac {7} {9} [/ math] se usa como fuente de infinitos 7 dígitos. Elevarlo a una potencia de 10 y luego redondear hacia abajo es un truco para limitar el resultado a solo 7 dígitos como sea necesario.
El número de sietes en el numerador debe coincidir con el número de sietes en cada uno de los términos. El patrón que queremos, como lo demuestran los términos de ejemplo dados, es 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 … cada número entero se repite dos veces. Esto es aproximadamente [math] \ frac {x} {2} [/ math] (redondeado a un entero) dígitos donde [math] x [/ math] es el índice del término actual. Sin embargo, junto con el incremento del número que se redondeará en 0.5 cada vez, también necesitamos el primer término para redondear a 1 y el segundo término para redondear a 2. Para que todas esas afirmaciones sean verdaderas, los números se redondearán para x = 1 yx = 2 deben ser 1 y 1.5 cada uno redondeado hacia arriba o 1.5 y 2 cada uno redondeado hacia abajo. [math] \ frac {x} {2} [/ math] sugiere 0.5 y 1. Podría haber agregado 0.5 al exponente o 1 al numerador del exponente antes de redondear hacia arriba, pero decidí agregar 1 al exponente y redondear hacia abajo en lugar. Las tres sintaxis posibles serían correctas, pero la que elegí mantiene la coherencia de que todo el redondeo siempre está hacia abajo, nunca hacia arriba.
En caso de que no esté familiarizado con la sintaxis, [math] \ lceil x \ rceil [/ math] significa redondear al siguiente entero y [math] \ lfloor x \ rfloor [/ math] significa redondear hacia abajo. Estas son ligeras variaciones de las sintaxis más conocidas [matemáticas] [x] [/ matemáticas] o [matemáticas] \ lfloor x \ rceil [/ matemáticas] para redondear al número entero más cercano.
Los términos pares en la secuencia siempre están en décimas, por lo que el denominador siempre debe ser 10 para los números pares. Para términos con números impares, el denominador es más complejo. Por lo tanto, necesitamos detección par / impar a través del módulo. He escrito ese bit como [math] x \ backslash 2 [/ math], pero también se ve comúnmente como [math] x \ mod 2 [/ math] o [math] x \% 2 [/ math]. Esta operación, en caso de que no esté familiarizado, devuelve el resto del problema de división. En este caso, eso significa que será cero para valores pares de [math] x [/ math] y 1 para valores impares. La multiplicación por este valor (0 o 1) permite que se incluya y excluya otro factor alternativamente con cada incremento de [math] x [/ math]. Los valores pares de x necesitan que el exponente sea 1, por lo que agrego 1 a esta operación de módulo y multiplicación para asegurar ese valor mínimo.
Para números impares, donde la parte de multiplicación del truco de módulo y multiplicación se vuelve significativa, la potencia deseada de 10 incrementos cada vez.
f (1) = 1
f (3) = 2
f (5) = 3
f (7) = 4
etc.
Por lo tanto, una vez más necesitamos alguna variación en [math] \ frac {x} {2} [/ math] con redondeo. Recuerde que ya estamos agregando 1 a esta figura, por lo que el bit que se multiplicará por la operación del módulo debería ser:
f (1) = 0
f (3) = 1
f (5) = 2
f (7) = 3
etc.
Por lo tanto, [math] \ frac {x} {2} [/ math] debe redondearse hacia abajo y no requiere el desplazamiento necesario en el exponente redondeado del numerador.
Si quería respuestas numéricas, aquí están las primeras.
f (1) = 0.7
f (2) = 8.4
f (3) = 9.17
f (4) = 86.87
f (5) = 87.647
f (6) = 865.347
f (7) = 866.1247
f (8) = 8643.8247
f (9) = 8644.60247
f (10) = 86422.30247
f (11) = 86423.080247
f (12) = 864200.780247
f (13) = 864201.5580247
f (14) = 8641979.2580247
f (15) = 8641980.03580247
f (16) = 86419757.73580247