¿Cuántos conjuntos de dos factores de N = 360 serán coprimos entre sí?

Answer 1

Al factorizar 360 obtenemos los siguientes factores:
360 = (2 ^ 3) * (3 ^ 2) * (5)

Primero suponga que 5 no divide ni el factor primo co. Entonces tenemos dos casos:

Caso 1 : Un factor debe ser 2 para una potencia positiva, mientras que el otro factor debe ser 3 para una potencia positiva. Por lo tanto, hay 3⋅2 = 6 de estos (ya que hay 3 posibles potencias positivas de 2 y hay 2 posibles potencias positivas de 3).
Caso 2 : Un factor es 1 mientras que el otro factor es un divisor de
(2 ^ 3) * (3 ^ 2). Por lo tanto, hay (3 + 1) (2 + 1) = 12 de estos.
Ahora, tenga en cuenta que todos estos pares consisten en números diferentes, excepto el par {1,1}. Para cada uno de los pares con dos elementos distintos, podemos multiplicar cualquiera de los elementos por 5 para obtener dos nuevos pares de factores primos (es decir, la solución {a, b} da lugar a las soluciones {5a, b} y {a, 5b}. Finalmente, el par {1,1} bajo este proceso solo nos da un nuevo par: {1,5}.
En conclusión, tenemos
3 (6 + 12−1) + 2 = 53
Co primer pares.

Answer 2

Tenga en cuenta que [math] 360 = 2 ^ 3 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 [/ math]. Buscamos pares [matemáticas] \ {a, b \} [/ matemáticas] de manera que [matemáticas] a \ cdot b = 360 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ gcd (a, b) = 1 [/ matemáticas]; asumiremos [matemáticas] a, b \ in \ mathbb N [/ matemáticas].

Al elegir [math] a [/ math] se corrige [math] b [/ math], ya que [math] b = \ frac {360} {a} [/ math]. Ahora [math] a [/ math] solo puede ser un producto de los enteros en cualquier subconjunto (incluido el subconjunto vacío) de [math] \ {2 ^ 3, 3 ^ 2, 5 \} [/ math], ya que [ matemática] 2 \ mid a [/ math] implica [math] 2 ^ 3 \ mid a [/ math] y [math] 3 \ mid a [/ math] implica [math] 3 ^ 2 \ mid a [/ math] . Elegir el conjunto vacío da como resultado [math] a = 1 [/ math]. Hay [matemática] 2 ^ 3 = 8 [/ matemática] pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática], y la mitad de los conjuntos [matemática] \ {a, b \} [/ matemática] [matemática ] ([/ math] ya que [math] a = b [/ math] no es posible [math]) [/ math].

Los cuatro pares son [matemáticas] \ {1,360 \} [/ matemáticas], [matemáticas] \ {5,2 ^ 3 \ cdot 3 ^ 2 \} [/ matemáticas], [matemáticas] \ {2 ^ 3,3 ^ 2 \ cdot 5 \} [/ math] y [math] \ {3 ^ 2,2 ^ 3 \ cdot 5 \} [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

360 se puede descomponer en factores primos como (2 ^ 3) * (3 ^ 2) * (5 ^ 1)
Necesitamos encontrar los factores co-primos a 2, 3 y 5 (y sus potencias superiores factibles).
Hay 5 factores co-primos a 2 , 2 ^ 2 y 2 ^ 3 cada uno y son
-> 3, 3 ^ 2
-> 5
-> 3 * 5, (3 ^ 2) * 5

4 factores co-primos a 3 y 3 ^ 2 cada uno -> 5, 2 * 5, (2 ^ 2) * 5, (2 ^ 3) * 5

6 factores co-primos a 5 -> 2 * 3, (2 ^ 2) * 3, (2 ^ 3) * 3, (2 * 3) ^ 2, (2 ^ 2) * (3 ^ 2), ( 2 ^ 3) * (3 ^ 2)

Entonces, hay un total de 15 + 8 + 6 = 29 conjuntos de dos factores co-primos entre sí. (Las correcciones son bienvenidas)

PD : las matemáticas están destinadas a ser practicadas por tu cuenta, no para que otros las resuelvan por ti. No es necesario desperdiciar créditos en tales A2A. Gracias.

Answer 4

360 = 3 ^ 2 * 2 ^ 3 * 5 ^ 1

En primer lugar, tomaremos 2 y producto de 3 y 5.
2 pueden tomarse de 4 maneras y para cada forma 3 pueden tomarse de 3 maneras y para cada 3, 5 pueden tomarse de 2 maneras.
Total nos. = 4 * 3 * 2 = 24.
Pero cuando 3 ^ 0 y 5 ^ 0 = 1 = 2 ^ 0.
Entonces es 24-1 = 23.

Ahora considerando 2 y 5 juntos.
Tenemos 3 de 3 maneras y 2 de 4 maneras y 5 de 2 maneras.
Pero 5 ^ 0 ya se considera en el caso anterior,
entonces tenemos 4 * 3 = 12.
Pero cuando 5 ^ 1 y 2 ^ 0 = 5 y 3 ^ 0 = 1.
Este caso también se considera anteriormente.
Aquí es 12-1 = 11.

Ahora considerando 5’s y producto de 2’s y 3’s

Como ya habíamos considerado el caso cuando 2 ^ 0 y cuando 3 ^ 0

Aquí tenemos 1 * 2 * 3 = 6
En total tenemos 23 + 11 + 6 = 40 pares.

Answer 5

Factorizar 360 = 9 × 40 = 3 ^ 2 x 5 x 2 ^ 3

Ahora, mire los factores cuidadosamente

1,3,3 ^ 2

1,5

1,2,2 ^ 2,2 ^ 3

Si desea hacer que los factores co-primen, entonces puede elegir como máximo 1 divisor de cada fila.

Ahora el cálculo es trivial.

Answer 6

Ajay Sharma lo ha respondido bastante bien.

Y sí, estoy de acuerdo con Ajey Karthik, este no es un lugar para preguntas triviales.

Gracias por el A2A de todos modos.

¡Que tengas un buen día!

Answer 7

Y estás dando créditos A2A a otros por estos. 🙂