¿Cómo explicarías la hipótesis de Riemann y la función zeta como lo harías con un estudiante de décimo grado?

Primero, comenzamos la historia con series bien conocidas [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas ] En este punto, espero que el alumno de 10º grado haya escuchado sobre series (infinitas) en general y entienda la notación.

Ahora, ¿por qué no podemos hacerlo más general y preguntar qué es [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ s} = \ frac {\ pi ^ 2} { 6} [/ math] donde [math] s [/ math] es un número real o incluso complejo? Claro que podemos, eso es lo que hizo Riemann y esa es exactamente la función zeta de Riemann. Algunos de sus valores, determinados por la continuación analítica o en términos del valor principal, pueden parecer extraños, como [matemática] \ zeta (-1) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ {- 1}} = 1 + 2 + 3 + \ ldots = – \ frac {1} {12} [/ math] pero ese no es el tema de hoy. Queremos llegar a eso, ¿cómo lo llaman … la hipótesis de Riemann? Si, eso.

Bueno, hasta ahora hemos definido la función zeta: [math] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ {s}} [/ math]. Como hemos tomado [math] s [/ math] como un número complejo, tiene su parte real e imaginaria. ¿Para qué valores de [matemáticas] s [/ matemáticas] es [matemáticas] \ zeta (s) = 0 [/ matemáticas]? Uso de una representación alternativa de la función zeta en forma de una ecuación funcional [matemáticas] \ zeta (s) = 2 ^ s \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left (\ frac {\ pi s} {2} \ derecha) \ \ Gamma (1-s) \ \ zeta (1-s) [/ math] puede descubrir que [math] s = –2, -4, -6, \ ldots [/ math] se prueban fácilmente ser las raíces de esta ecuación. Como se muestra fácilmente, llamamos a estas raíces / ceros triviales . La pregunta es: ¿hay raíces de esta ecuación que no están en esa secuencia de enteros pares negativos? Los llamaríamos no triviales . Hay tales números, por ejemplo [math] s = 1/2 + i14.13472514 [/ math]. Lo interesante de todos los ceros no triviales de la función zeta que hemos encontrado es que su parte real es siempre 1/2. Esa es la hipótesis de Riemann: que cada cero no trivial de la función zeta tiene la parte real 1/2.

Deberíamos probarlo o encontrar un cero no trivial con una parte real diferente de 1/2. Todavía no hemos podido hacer tampoco.