¿Cómo se puede probar que [math] (\ forall k \ in \ mathbb {Z}, \ exist r, s \ in \ mathbb {Z}) \ left (22 r + 18 s = 2 k \ right) [/ math ]?

Answer 1

Hay un teorema general que dice que el MCD (máximo común divisor) d de dos enteros myn es una combinación lineal de ellos. A veces esto se llama algoritmo euclidiano extendido.

El MCD de 22 y 18 es 2, entonces 2 es una combinación lineal de 18 y 22. Es decir, hay enteros (no necesariamente positivos) r y s tales que 22 r + 18 s = 2. (Entonces, k en su pregunta puede ser 1.)

¿Cómo encuentras r y s ? Aplica el algoritmo euclidiano haciendo un seguimiento de los números.

22 = (1) 18 +4
18 = (4) 4 + 2
4 = (2) 2

Por lo tanto
2 = 18 – (4) 4
= 18 – (4) (22 – (1) 18)
= (5) 18 – (4) 22.

Por lo tanto, 22 r + 18 s = 2 donde r = –4 y s = 5.

Multiplique eso por k para obtener 22 ( kr ) +18 ( ks ) = 2 k.

Answer 2

Me resultaría atractivo escribir una solución para esto sin recurrir al Algoritmo Euclidiano. Por ejemplo, si se le plantea a un estudiante de grado 7, ¿tendrían la oportunidad de resolverlo, es decir, lo considerarían trivial? Suponemos que son lógicos y tienen una base sólida en la manipulación algebraica.

Pueden comenzar así:

reduzca la ecuación dividiendo entre [matemática] 2 [/ matemática] y mostrando que para cualquier [matemática] k [/ matemática], puede encontrar [matemática] [[matemática] y [matemática] s [/ matemática] para que [matemáticas] 11r + 9s = k [/ matemáticas].

Seguramente un buen comienzo sería resolver [matemáticas] 11r + 9s = 1 [/ matemáticas] sin la mención de Euclides.

Bueno, [matemáticas] s = \ frac {{1 – 11r}} {9} = \ frac {{1 – 9r – 2r}} {9} = \ frac {{1 – 2r}} {9} – r [ /matemáticas].

Por inspección, la fracción se borra si [matemática] r = 5 [/ matemática] y así [matemática] s = – 6 [/ matemática].

Claramente, (grado [matemáticas] 7 [/ matemáticas] debe aprender esa palabra lo antes posible),

desde [matemáticas] 11 (5) + 9 (- 6) = 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 11 (5k) + 9 (- 6k) = k [/ matemáticas].

Entonces, para una determinada [matemática] k [/ matemática], [matemática] r = 5k [/ matemática] y [matemática] s = -6k [/ matemática].

(Por cierto, no tengo nada en contra del algoritmo euclidiano)

Answer 3

Solo factoriza un 2 de ambos lados de la ecuación:

[matemáticas] 22r + 18s = 2k [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 (11r + 9s) = 2k [/ matemáticas]
[matemáticas] 11r + 9s = k [/ matemáticas]

Como [math] 11 [/ math], [math] 9 [/ math], [math] r [/ math] y [math] s [/ math] son ​​todos enteros, [math] k [/ math] es un entero.

Answer 4

A2A: Si nos atenemos a la convención de que [math] \ mathbb Z [/ math] denota el conjunto de enteros, entonces esta es una proposición completamente trivial para probar, como lo demuestran las respuestas anteriores.