Encuentre un número entero positivo n tal que n / 2 sea un cuadrado, n / 3 sea un cubo y n / 5 sea una quinta potencia.

Tiene que ser divisible por 2, 3 y 5.
Deje que sea 2 ^ x.3 ^ y.5 ^ z .

  • Cuadrado perfecto cuando se divide por 2:

(2 ^ x.3 ^ y.5 ^ z) / 2 es un cuadrado perfecto.
2 ^ x-1.3 ^ y.5 ^ z ————– “” —————
La raíz de esto es, por lo tanto, un número entero .
2 ^ x-1 / 2.3 ^ y / 2.5 ^ z / 2 es entero.
Como 2,3,5 son primos (x-1), y / 2 y z / 2 tienen que ser números enteros. es decir, tienen que ser divisibles por 2.

  • Para el cubo dividir por 3:

La raíz cúbica de 2 ^ x.3 ^ y-1.5 ^ z es un número entero.
2 ^ x / 3.3 ^ (y-1) /3.5^y/3 es entero.
Por lo tanto, x / 3, (y-1) / 3 y z / 3 son números enteros.

  • A continuación, quinta potencia dividiendo por 5:

2 ^ x.3 ^ y.5 ^ z-1.
Por lo tanto, quinta raíz:
2 ^ x / 5.3 ^ y / 5 ^ (z-1) / 5.
==> x, y y z-1 son divisibles por 5.

Obtenemos :

x – 1 es divisible por 2. Así x es impar.
x es div por 3 y 5. ==> x = 15 o -16.

y es div por 5 y 2. Así es parejo.
y-1 se divide por 3. ==> y = 10 o -20.

z es div por 2 y 3. Por lo tanto, z es impar.
Z-1 se divide por 5. ==> z = 6 o -24 .
Por lo tanto el no. es 2 ^ 15.3 ^ 10.5 ^ 6 .

Una solución sería [matemáticas] 2 ^ {15} \ cdot 3 ^ {10} \ cdot 5 ^ 6 [/ matemáticas].