Si el término Mth de un GP es N y el término Nth es M, ¿cuál sería el término (M + N)?

Answer 1

El término [math] M ^ {th} [/ math] del GP es [math] ar ^ {M-1} = N [/ math].
El término [math] N ^ {th} [/ math] del GP es [math] ar ^ {N-1} = M [/ math].

Al dividir estas dos ecuaciones, obtenemos [matemáticas] r ^ {MN} = \ frac {N} {M} [/ matemáticas], o [matemáticas] r = \ left (\ frac {N} {M} \ right) ^ {\ frac {1} {MN}} [/ math].

De [math] ar ^ {M-1} = N [/ math], obtenemos [math] a = \ frac {N} {r ^ {M-1}} = \ frac {N} {\ left (\ frac {N} {M} \ right) ^ {\ frac {M-1} {MN}}} = N \ times \ left (\ frac {M} {N} \ right) ^ {\ frac {M-1 } {MN}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {M ^ {\ frac {M-1} {MN}}} {N ^ {\ frac {M-1} {MN} -1}} = \ frac {M ^ {\ frac { M-1} {MN}}} {N ^ {\ frac {N-1} {MN}}} = \ left (\ frac {M ^ {M-1}} {N ^ {N-1}} \ derecha) ^ {\ frac {1} {MN}} [/ math]

Ahora el término [math] {(M + N)} ^ {th} [/ math] del GP es [math] ar ^ {M + N-1} = \ left (\ frac {M ^ {M-1 }} {N ^ {N-1}} \ right) ^ {\ frac {1} {MN}} \ left (\ frac {N} {M} \ right) ^ {\ frac {M + N-1} {MN}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left (\ frac {M ^ {M-1} \, N ^ {M + N-1}} {M ^ {M + N-1} \, N ^ {N-1}} \ derecha) ^ {\ frac {1} {MN}} = (M ^ {- N} \, N ^ M) ^ {\ frac {1} {MN}} [/ math]
[matemáticas] = \ left (\ frac {N ^ M} {M ^ N} \ right) ^ {\ frac {1} {MN}} [/ math].

Answer 2

[matemáticas] (\ frac {m ^ n} {n ^ m}) ^ {\ frac {1} {nm}} [/ matemáticas]

Answer 3