¿En qué otras formas puedo escribir a ^ n + b ^ n y a ^ n – b ^ n?

Answer 1

Hay algunos casos especiales de interés.

Si n es primo, estamos atrapados con una forma alternativa cada uno, a saber

[matemáticas] a ^ n + b ^ n = (a + b) (a ^ {n-1} -a ^ {n-2} b + a ^ {n-3} b ^ 2-a ^ {n- 4} b ^ 3 +… b ^ {n-1} [/ matemáticas]

y [matemáticas] a ^ nb ^ n = (ab) (a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + a ^ {n-3} b ^ 2 + a ^ {n-4} b ^ 3 +… b ^ {n-1} [/ matemáticas]

Presentaré otros ejemplos en lugar de mostrar fórmulas complicadas.

Si n es compuesto, podemos tener varias posibilidades. Suponga que [math] n = 30 [/ math] y considere la factorización de [math] a ^ {30} + b ^ {30} [/ math] y [math] a ^ {30} -b ^ {30}. [/matemáticas]

[matemáticas] a ^ {30} -b ^ {30} = (a ^ {15} -b ^ {15}) (a ^ {15} + b ^ {15}) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {30} -b ^ {30} = (a ^ {10}) ^ 3- (b ^ {10}) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {30} -b ^ {30} = (a ^ {10} -b ^ {10}) (a ^ {20} + a ^ {10} b ^ {10} + b ^ {20 })[/matemáticas]

[matemáticas] a ^ {30} -b ^ {30} = (a ^ 6) ^ 5- (b ^ 6) ^ 5 = (a ^ {24} + a ^ {18} b ^ 6 + a ^ { 12} b ^ {12} + a ^ 6b ^ {18} + b ^ {24} [/ matemáticas]

Hay una expresión alternativa para cada uno de estos factores de 30: 2 × 15 , 15 × 2, 3 × 10, 10 × 3 , 5 × 6, 6 × 5 ,

Las factorizaciones en negrita también permiten alternativas para [matemáticas] a ^ n + b ^ n. [/ Matemáticas]

Answer 2

Los formularios que anotó son prácticamente los más simples que puede obtener.

Siempre puede factorizar [matemáticas] a ^ nb ^ n = (ab) (a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + \ dots + b ^ {n-1}) [/ matemáticas],

y para exponentes impares n puede factorizar [matemáticas] a ^ n + b ^ n = (a + b) (a ^ {n-1} -a ^ {n-2} b \ pm \ dots + b ^ {n -1}) [/ math] donde se firma en el segundo paréntesis se alterna.

Si trabaja sobre un campo básico de la característica [matemática] p> 0 [/ matemática] (con [matemática] p [/ matemática] un número primo), entonces también [matemática] a ^ p \ pm b ^ p = (a \ pm b) ^ p [/ matemáticas]

Answer 3

a ^ n – b ^ n = (ab) (a ^ (n-1) + a ^ (n-2) * b + a ^ (n-3) * b ^ 2 +… + a ^ 2 * b ^ (n-3) + a * b ^ (n-2) + b ^ (n-1))