¿Es verdadera la siguiente afirmación para números compuestos? [matemática] (n-1)! \ \ equiv \ a \ pmod n [/ matemática] para [matemática] a \ in \ {0, 2 \} [/ matemática]

n es compuesto, por lo que podemos escribir n = ab, con 1 <a <n y 1 <b <n. (n-1)! es el producto de los números 1,2,3,4, …, (n-2), (n-1).

Caso 1: n no es el cuadrado de un primo. Entonces podemos elegir [matemáticas] a \ neq b [/ matemáticas]. Entonces (n-1)! = 1 * 2 * … * a * … * b * … * (n-1), que es divisible por a y b, entonces es divisible por n.
Por lo tanto, hemos demostrado que para todos los compuestos n, si n no es el cuadrado de un primo, entonces [matemática] (n-1). \ equiv 0 \ mod n [/ math]

Caso 2: [matemáticas] n = p ^ 2, p \ geq 3 [/ matemáticas] para algunos primos p. [matemática] p ^ 2> 2p [/ matemática] por lo que tanto p como 2p están en {1,2, …, n-1}. Por lo tanto, [matemática] 2p ^ 2 | (n-1)! [/ Matemática], lo que implica [matemática] p ^ 2 | (n-1)! [/ Matemática], entonces [matemática] (p ^ 2-1) ! \ equiv 0 \ mod p ^ 2 [/ math]

Caso 3: n = 4. [matemáticas] 3! \ equiv 2 \ mod 4 [/ matemáticas]

¡Ahora hemos demostrado que para todos los compuestos n, [matemáticas] (n-1)! \ equiv 2 \ mod n [/ math] para n = 4 y [math] (n-1)! \ equiv 0 \ mod n [/ math] para todos los demás compuestos n. Por lo tanto, tu conjetura es cierta.

OK, encontré la respuesta aquí: Sección sobre el módulo compuesto Teorema de Wilson